Calculo da Área de um Triângulo Qualquer

Ângulos e Triângulos

Ângulos

A unidade de medida de um ângulo chama-se grau, cujo símbolo é: (º) e os seus submúltiplos são o mínuto, (') e o segundo,("). 

Exemplo:

1º = 60 ' e 1' = 60" logo: 1º = 3600" 

Classificação dos Ângulos

Eles podem ser:

Agudos - Quando medem menos que 90º

Obtuso - Quando medem mais que 90º

Reto - Quando medem exatamente 90º

Raso - Quando valem exatamente 0º ou 180º

Bissetriz de um ângulo - É a semi-reta que tem origem no vértice de um angulo principal e o divide em dois ângulos iguais.

Triângulos

Sabemos que eles têm 3 lados e 3 ângulos internos que somam 180º.

Classificação dos Triângulos:

Se dá:

De acordo o medida de seus lados:

Equilátero - Aquele que possui os 3 lados iguais.

Escaleno = Têm os 3 lados diferentes.

Isósceles - Têm dois lados iguais.

Ou de acordo com a medida de seus ângulos:

Equilátero - Têm os 3 ângulos congruentes que valem 60º

Isósceles - Têm dois ângulos congruentes e outro diferente, salvo quando ele é também Equilátero.

Escaleno - Possui três ângulos diferentes.

Retângulo - É aquele que possui um ângulo reto (90º).

Área de um triângulo

A área S de um triângulo qualquer se dá em u² (unidade de área ao quadrado) e pode ser representada de várias formas:

1) A mais usual é: S= (bxh)/2 onde b é a base, h é a altura do triângulo.
2) Usando os lados "a" e "b" do triângulo: S= (1/2).ab.sen &, onde & é o ângulo entre os lados a e b.
3) Fórmula de Heron: Usamos o semiperímetro p e os lados a, b e c de um triângulo qualquer, ou seja: 

4) Se o triângulo for equilátero de lado L, então S= (L²√3)/4

Exemplo 1
Calcular a área S dos triângulos abaixo:

Solução:
a) Note que é um triângulo equilátero de lado 4  tem 3 ângulos iguais de 60º, então podemos aplicar as 3 fórmulas abaixo:

1. S= √ p(p-a)(p-b)(p-c) → S= √ (4+4+4)/2 .(6-4)(6-4)(6-4)
→ S= √6.2.2.2 →S= √48  →S = 6,92 u²

2. S= (1/2).ab.sen &→ S= 1/2 4.4.sen60º →S = 1/2  .16 . √3:2 →S= 16√3 /4 →S = 4√3 →S=4.1,73 →S= 6,92 u²

3.  S= (L²√3)/4→ S= (4² .1,73) /4 →S= 4.1,73 → S= 6,92 u²

b) Aplicaremos a fórmula:  S= √ p(p-a)(p-b)(p-c) → S= √ (4+12+10)/2 . (13-4)(13-12) (13-10) → S= √13.9.1.3 →S= √13.27 →S= √351 → S= 18,73 u²

c) Como já temos sua altura 4 , então aplicamos a fórmula:
S= b.h /2 → S= 6.4 / 2 → S= 24/2 → S= 12 u²

d) Devemos aplicar a fórmula:
S= (1/2).ab.sen &  →S= (1/2) . 3.8 sen 30º →S= (1/2) . 24.( 1/2) → S= 24/4 →S= 6 u²

Exemplo 2
Determinar a área A do triângulo a seguir considerando que a sua base mede 23 metros e a altura 12 metros.  

Exemplo 3
Calcule a área A de um triângulo através da fórmula de Heron, cujo triângulo possui os lados medindo 4 m, 8 m e 10 m. 
Veja a fórmula de Heron abaixo:

A = 15,19 m² (aproximadamente)

Exemplo 4 
Um triângulo possui lados a e b medindo 5 cm e 8 cm, respectivamente. Sabendo que ele possui um ângulo entre os lados citados que  mede 30º, determine a área A dessa figura.

Exemplo 5

Achar quanto vale o lado de um triângulo equilátero cuja área A mede 173 m².

A= L²√3 →173 = L²√3→ 173.4 = L²√3→692 = L²√3→692/1,73 = L² →400 = L² →L= √400
     4                     4

L=20 metros
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