Média, Mediana e Moda - Resolução de Questões do ENEM!

Noções sobre Média, Mediana e Moda

Atendendo muitas solicitações de nossos leitores sobre esse tema da Estatística e que também estão se preparando para a  importante prova do Enem, apresentamos um estudo complementar da Estatística aqui já retratado.  Se você quiser mais detalhes sobre o tema, não deixe de acessar a matéria neste blog: Noções de Estatística.  Ainda, informamos que o exame ENEM quase sempre traz questões sobre esse conteúdo.  Então, vamos relembrar estes conceitos:

Média:
Quando aparecer apenas o termo “média”, estamos falando simplesmente da média aritmética. Ela é calculada a partir do somatório dos valores de todos os elementos, e cujo total é dividido pela quantidade destes elementos somados. Uma variação dela é chamada de média aritmética ponderada.  Na utilização da média simples, a ocorrência dos valores possui a mesma importância e no caso da média ponderada são atribuídos aos valores importâncias ou pesos diferentes.

Na média simples os valores são somados e divididos pela quantidade de termos adicionados. A média ponderada é calculada através do somatório das multiplicações entre valores e dos pesos divididos pelo somatório dos pesos.

Exemplos:

1) Seja o conjunto dos elementos: 2, 4 e 6.

Para achar a média aritmética basta somar os termos e dividir por 3 pois temos 3 termos.  Então, a média aritmética simples vale: (2+4+6)/3 = 12/3 = 4.

2) Se considerarmos que os valores acima ou 2, 4 e 6 são as notas obtidas por um aluno e cujo peso das provas são respectivamente 1, 2 e 3, então teremos que a média aritmética ponderada vale: (2.1 + 4.2 + 6.3)/ 1+2+3 = (2+8+18)/ 6 = 28/6 = 4,66...

Mediana:
Dada uma sequência de valores ordenados em ordem crescente ou decrescente, a mediana é o valor central dessa sequência. Caso haja dois valores centrais, a mediana é dada pela média aritmética deles.

Exemplo:

3) Seja o conjunto de valores: 1, 2, 3, 4, 5, 3, 2, 7.

Colocando estes valores em ordem crescente: 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 7. Portanto a mediana vale: (3+3)/2 = 6/2 = 3

4) Se o preço de um sapato vale em 5 lojas os valores: 120,00 – 100,00 – 150,00 – 90,00 e 80,00.  Qual a Mediana de seus preços?

Colocando-se os valores em ordem crescente: 80,00 – 90,00 – 100,00 – 120,00 – 150,00.   Note que o valor 100,00 situa-se exatamente no centro do conjunto, logo ele (100,00) é a Mediana dos preços.

Moda:
Quando afirmamos que uma roupa está na moda é porque muitas pessoas estão usando essa mesma roupa. Na Estatística, também é desta forma. Dado um conjunto de valores, a moda é o número que mais se repete no conjunto.

Exemplo:

5) Dado o conjunto de números: 1, 2, 2, 3, 7, 8, 8, 7, 1, 2, 10.  Notemos que o número que mais se repete é o 2, logo a moda vale 2.

Nota: Quando ocorrer de ter mais de um termo com repetições iguais, eles serão considerados as Modas do conjunto. No entanto, se não ocorrer repetições não teremos moda no conjunto.

Exemplo:

6) Considere que minhas notas na escola são: 10, 9, 9, 8, 8, 7, 7 e 5.  Então neste caso a moda das minhas notas vale: 7, 8 e 9, pois cada uma se repete duas vezes.

Questões Cobradas nos Exames Enem Anteriores:

1) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols.

Gols marcados	Quantidade de partidas
0	5
1	3
2	4
3	3
4	2
5	2
7	1

Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda dessa distribuição, então:

a) X = Y < Z.
b) Z < X = Y.
c) Y < Z < X.
d) Z < X < Y.
e) Z < Y < X.

Solução: Primeiro, calculemos a média (X). Nesse caso, utilizaremos a média ponderada, que nada mais é do que uma especificação da média aritmética. Se ocorreu cinco partidas com nenhum gol, deveríamos somar 0 + 0 + 0 + 0 + 0; três partidas com um gol: 1 + 1 + 1 e assim por diante. Através do cálculo da média ponderada, teremos:

X = 0.5 + 1.3 + 2.4 + 3.3 + 4.2 + 5.2 + 7.1
      5 + 3 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1

X = 0 + 3 + 8 + 9 + 8 + 10 + 7
      20

X =  45
       20

X = 2,25

Depois, vamos calcular a mediana (Y). Para isso, basta organizar os gols marcados em ordem crescente:

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7

Ao organizarmos os gols marcados em ordem crescente, como há dois valores centrais. Vamos então fazer o cálculo da média aritmética entre eles:

Y = 2 + 2
       2
Y = 2

Resta-nos agora encontrarmos a moda (Z). Para isso, basta olhar na tabela e verificar qual é a maior quantidade de partidas com o mesmo número de gols marcados. Facilmente podemos constatar que houve cinco partidas sem nenhum gol marcado. Ao olharmos a sequência montada para verificar a mediana, também podemos ver que o número zero é o que mais se repete. Portanto, a moda é zero.
Se Z = 0, Y = 2 e X = 2,25, então a alternativa correta é a letra e, que apresenta Z < Y < X. 

2) Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos. As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro.

Dia do mês	Temperatura (em ºC)
1	15,5
3	14
5	13,5
7	18
9	19,5
11	20
13	13,5
15	13,5
17	18
19	20
21	18,5
23	13,5
25	21,5
27	20
29	16

Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a

a) 17 °C, 17 °C e 13,5 °C.
b) 17 °C, 18 °C e 13,5 °C.
c) 17 °C, 13,5 °C e 18 °C.
d) 17 °C, 18 °C e 21,5 °C.
e) 17 °C, 13,5 °C e 21,5 °C

Solução:

- Para achar a média aritmética vamos somando todos os valores de temperatura encontrados e dividindo a soma pela quantidade de dias analisados:

M.A. = 15,5+14+13,5+18+19,5+20+13,5+13,5+18+20+18,5+13,5+21,5+20+16
            15

M.A. = 255
            15

M.A. = 17

Portanto: A média das temperaturas é de 17° C. 

- Para calcular a mediana, vamos organizar os valores em ordem crescente:

13,5; 13,5; 13,5; 13,5; 14; 15,5; 16; 18; 18; 18,5; 19,5; 20; 20; 21,5; 20

O valor central é o 18, então, sem que seja necessário fazer qualquer outro cálculo, podemos afirmar que a mediana é 18°C.

- A moda é o valor mais frequente entre as informações apontadas. A temperatura de 13,5°C aparece quatro vezes na tabela, sendo a mais frequente. Portanto, a moda é 13,5°C.

Sendo assim, a alternativa correta é a letra b, que aponta que a média, a mediana e a moda são, respectivamente, 17°C, 18°C e 13,5°C.

3) A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco microempresas (ME) que se encontram à venda.

Um investidor deseja comprar duas destas empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas com a maior média anual. As empresas que este investidor deverá escolher para comprar são

A) Balas W e Pizzaria Y.

B) Chocolates X e Tecelagem Z.

C) Pizzaria Y e Alfi netes V.

D) Pizzaria Y e Chocolates X.  

E) Tecelagem Z e Alfinetes V.

Solução: Com base na tabela acima, calcula-se as médias de cada empresa:

Empresa Alfinetes V = 200+220+240 / 3 = 660/3 = 220

Empresa Balas W = 200+230+200 / 3 = 630/3 = 210

Empresa Chocolates X = 250+210+215 / 3 = 675/3 = 225

Empresa Pizzaria Y = 230+230+230 /3 = 690/3 = 230

Empresa Tecelagem Z = 160+210+245 / 3 = 615/3 = 205

Logo, ele escolheu a letra D): Pizzaria Y (230) e Chocolates X (225)

4) O gráfico apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o CAGED, no período de janeiro de 2010 a outubro de 2010.



Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é

A) 212.952.
B) 229.913.
C) 240.621.
D) 255.496.
E) 298.041

Solução: Pede-se para calcular a mediana, logo:

Coloquemos os dados em ordem crescente(rol), temos:

181419 - 181796 - 204804 - 209425 - 212952 - 246875 - 266415 - 298041 - 299415 - 305068

Como sobrou os valores centrais, vamos calcular sua média aritmética simples ou seja: 212952+246875 /2 = 459827/2 = 229913, portanto devemos marcar a letra B. 

Atenção 
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