Duas Retas Paralelas se Encontram no Infinito?

Você Acha que Duas Retas Paralelas se Encontram no Infinito?

Esta pergunta é semelhante à seguinte: Será que duas linhas ou retas paralelas se encontram no infinito? Essa resposta, depende do tipo de geometria que você estiver considerando no momento da análise deste assunto. Sabemos que a solução pode ser dada de duas maneiras distintas que depende do tipo de Geometria que você se basear. Enfatizamos que, talvez a geometria projetiva apresente uma resposta afirmativa condizente e de modo muito satisfatório. No entanto, pela visão da geometria euclidiana, considerando-se que estas retas ou duas linhas paralelas são definidas como duas linhas que nunca se cruzam, quando consideramos apenas o plano finito. Então, a resposta obtida seria, segundo Euclides  negativa. Ou seja, considerando-se esta corrente de pensamento, linhas paralelas nunca vão se cruzar.

No entanto, quando o plano euclidiano, chamado também de plano finito, for ampliado ou alargado, adicionando uma ou mais linhas no infinito, para então criarmos o plano projetivo. Quando isso acontece, cada conjunto de linhas paralelas, quando consideradas no plano finito, vão se cruzar em um ponto que reside naquela linha no infinito, ou seja fora do plano finito. Pensando assim, a resposta à nossa pergunta seria sim, pois eles se encontram em um ponto no infinito.  Por isso, conhecer e nos inteirarmos da Geometria Projetiva é de extrema importância a todos que gostamos de Matemática.


Como surgiu a Geometria Projetiva?

Historicamente, o matemático e engenheiro francês chamado “Girard Desargues” (1591-1661), estudou e inventou a geometria projetiva. Futuramente, o tema foi desenvolvido por “Gaspard Monge” (1746-1818) e tornou-se um ramo muito importante da Geometria e da Matemática. A Geometria projetiva é muito importante hoje para nos explicar muitos outros temas matemáticos, como: geometria algébrica, topologia, teoria dos números, análise, entre outros.

Ainda, a geometria projetiva estuda também as propriedades descritivas das figuras geométricas. Ela consolidou-se cientificamente, a partir de uma publicação do matemático francês "Jean Victor Poncelet", chamado "Tratado das Propriedades Projetivas das Figuras" datado de 1822, o qual ampliou a linguagem da geometria simples, aproximando-a da geometria analítica.

A necessidade da criação da Geometria Projetiva começou a se fazer presente no século XV, em face das dificuldades encontradas pelos artistas do movimento mundialmente conhecido como Renascimento, em que muitos artistas e pintores daquela época pretendiam dar aos seus quadros, uma aparência naturalista, tal qual a visão humana. Contudo até o século XVII, os matemáticos não haviam se interessado por tais estudos ligados à esta perspectiva. Então, surgiu um estudioso chamado Kepler que compreendeu a importância do estudo unificado das cônicas e da conceituação de elementos infinitos, mas não se aprofundou em nenhum dos dois temas.  Os processos empíricos se sucederam, até que no século XVII, o grande matemático Girard Desargues mostrou que as retas paralelas e concorrentes são de mesma natureza.

Saiba o que diz a geometria euclidiana sobre retas paralelas! 





Observe o comportamento de duas retas: x=1 e x=2 no plano cartesiano já estudado aqui neste blog.  Enfatizamos que, quando falamos de linhas comuns envolvendo a geometria euclidiana, podemos afirmar que as linhas paralelas não se encontram. Considerando então, a linha x = 1 e a linha de x = 2, elas não vão se encontrar em qualquer ponto, uma vez que a coordenada x do ponto não pode ser tanto 1 e 2, ao mesmo tempo.  Neste caso, quando utilizamos o plano de coordenadas, você pode inferir que as retas x=1 e x=2 vão manter sempre a distância comum de uma unidade entre elas e portanto mesmo que a ordenada y varie por todo eixo Oy, elas nunca irão se tocar. Neste contexto, podemos afirmar que linhas ou retas paralelas não se encontram no infinito, considerando-se os pontos do plano cartesiano.


O Pensamento das Geometrias Não Euclidianas

No entanto, você pode analisar o fato por uma outra ótica, abordando no conceito das chamadas geometrias não euclidianas. Por exemplo, você pode tirar os pontos habituais do avião e anexá-los para um ponto adicional chamado "infinito" e considerar todas as linhas ou retas a incluir também a este ponto adicional. Neste contexto, existe um único local no "infinito", onde todas as linhas se encontraram. Neste tipo de geometria, todas as linhas ou retas se cruzam no infinito, para além de qualquer ponto finito, e portanto, nossa pergunta ficaria com a resposta afirmativa.

Curiosamente, se você anexar não apenas um ponto adicional, mas toda uma coleção de pontos adicionais, um para cada direção. Então, podemos considerar duas linhas retas paralelas para se tocarem no ponto extra correspondente à sua direção comum, ao passo que duas linhas retas não paralelas não se cruzam no infinito, mas se cruzam apenas com um ponto de interseção finito. 

Resumindo: na geometria normal desenvolvida por Euclides, linhas paralelas nunca se encontram. Não existe a tal circunstância como o infinito, e é errado dizer que as linhas paralelas se encontram no infinito, quando estudamos isso numa geometria comum.

Mas, quando consideramos, outros sistemas geométricos, cujos "pontos" incluem não apenas pontos da geometria familiarizados (descritíveis como pares de coordenadas (x, y)), incluindo outros objetos. Estes outros materiais podem ser construídos de vários modos, conforme descrito na discussão da geometria projetiva. Considerando estes outros sistemas geométricos, as linhas retas paralelas podem reunir-se em um "ponto no infinito". Se este é um único ponto ou pontos diferentes para diferentes classes de linhas retas paralelas, depende do sistema geométrico particular que você estará considerando nos seus estudos.

Conclusão:

Sempre aprendemos e fomos orientados em nosso aprendizado escolar, que retas paralelas são aquelas que não se encontram nunca. Contudo, hoje, estudos avançados da matemática baseados na Análise da Matemática moderna, logo depois que houve o descobrimento do Cálculo Diferencial e Integral por Newton e Leibniz, fez com que esta abstração pode não ser tida como verdade absoluta, ou seja, agora consideramos o infinito como algo não numérico, o que ganhou maior destaque para resolver problemas, bem terrenos como o que acabamos de verificar nesta matéria.

Pensando de modo finito, ou seja baseados na geometria euclidiana e usando o plano cartesiano como referência, vimos que duas linhas ou retas paralelas nunca se encontram, pois elas sempre mantém uma mesma distância fixa entre ambas.  No entanto, quando consideramos estudos mais recentes, usando conceitos modernos como limites e integrais estudados no cálculo, ou pelo uso da geometria projetiva, elas inferem que duas linhas retas que sejam paralelas se encontraram num certo ponto lá no infinito, mas para provarmos matematicamente este fato, não é tão simples e pretendemos abordá-lo numa futura postagem.

Atenção: 
Sabemos que trata-se de tema polêmico plausível de muita discussão e que ainda poderão ocorrer muitas mudanças, num futuro não muito distante, quando novos estudos e novas teorias poderão nos dar uma certeza desta ambiguidade de pensamentos, ora verificados na matéria em estudo.
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