Noções de Matemática Financeira

O valor da moeda no tempo.

Sabemos que uma quantia em dinheiro hoje compra determinadas mercadorias, mas com esse mesmo valor daqui a algum tempo provavelmente não compraremos a mesma quantidade de produtos, mercadorias ou objetos.  Isso se dá por causa da inflação (perda do valor da moeda) que é calculada por vários índices, como o IGP-M (índice Geral de Preços do Mercado), o qual em Janeiro/2014 ficou em 0,48%.  Portanto, na média quem tinha um poder de compra ou guardou na gaveta o valor de 1.000,00 em 31/12/13, já no final de 31/01/14 só possuía: 995,20, ou seja perdeu 4,80.  Sabemos que a inflação anual gira em torno de 5 a 6%, apesar dos esforços dos órgãos do governo em seu controle quase que diariamente.

A Administração pública (BACEN, Casa da Moeda), sabendo disso e visando diminuir o impacto da inflação, remunera as aplicações através de uma taxa de juros (taxa SELIC), hoje valendo 10,50% ao ano.

Assim, quem tem 1.000,00 aplicados num Banco e recebe 100% da taxa SELIC, ao final de um mês poderá acumular: 1.008,75, cujo cálculo é efetuado dessa forma: (1000,00.10,5/100)/12+1000,00 = 1.008,75.

A Matemática financeira está diretamente ligada ao valor do dinheiro (moeda) no tempo, que por sua vez está ligada na existência da taxa de juros.

Principais conceitos utilizados em Matemática Financeira.

a) Capital Inicial ou Valor Presente (VP):  É o capital inicial ou principal em uma transação financeira, referenciado geralmente numa escala horizontal do tempo, numa data inicial que chamamos de n=0.  Podemos também chamar de valor à vista em termos comerciais ou àquele valor com desconto dado como opção às compras a prazo.

b) Taxa de Juros (i):  É um índice expresso em porcentagem que será aplicado ao capital inicial por determinado espaço de tempo (mês, ano, dia, etc).  Pode ser expresso por exemplo por 0,15 ou 15% ou 15/100.

Exemplo: 
Se um Banco paga: 400,00 de juros sobre o capital inicial de 4.000,00 que foi aplicado durante um ano, qual o valor da taxa de juros?

Solução: 400/4000 = 0,1 ou 10% ou 10/100  --> O Banco pagou uma taxa de juros simples de 10% ao ano.

c) Prazo ou Período (n):  As transações financeiras são feitas numa unidade de tempo (um dia, um mês, um semestre, etc.)e a taxa de juros(i) normalmente é cobrada/calculada nesses intervalos de tempo.  O período de tempo é o intervalo que o dinheiro ficará a disposição do tomador do empréstimo ou aplicação financeira, podendo ser unitário ou fracionado.  Por exemplo: Na caderneta de poupança, o período ou tempo é mensal, ou seja, devemos esperar um mês para recebermos o valor dos juros correspondentes (0,5%+TR(na regra das cadernetas antigas e ora vigentes devido à taxa Selic ser superior a 8,5%a.a.)).

No caso de sequência de capitais ou série de pagamentos o "n" expressa o número de pagamentos ou recebimentos efetuados do começo ao final da operação.  Exemplo: Comprei uma televisão em 5 prestações mensais, logo n=5.

d) Montante ou Valor Futuro (VF):  É a soma do capital inicial (VP) com os juros (j)  calculados no período que o capital ficou aplicado ou o empréstimo obtido ficou a disposição do tomador.   

Fórmulas Básicas usadas na Matemática Financeira para Juros simples.

Nem sempre temos uma calculadora em nossas mãos para que possamos resolver de forma rápida questões do nosso cotidiano que tratam-se de finanças e taxa de juros simples. Existem diversos métodos para se resolver problemas envolvendo a Matemática Financeira, mas aqui vamos abordar uma regra simples e eficaz:
Explicando o passo a passo para seu entendimento:

a) Uma maneira seria ir calculando período por período e depois somarmos os valores obtidos.

Exemplo: Se coloquei 100,00 num Banco a uma taxa de juros simples de 2% mensais.  Quanto terei ao final de 2 meses?

Ao final de 1 mês: 100.2/100 --> 200/100= 2,00 

No final do Segundo mês: 100.2/100 --> 200/100= 2,00 

Portanto ganhei 2+2= 4,00 de juros que somados ao capital inicial (100,00) somam: 104,00

Nota: Quando tivermos períodos curtos até podemos usar esse método, mas poderiamos usar a fórmula prática: J =Cit/100, onde C=capital inicial, i= taxa de juros e t= período e após a formula: M= J+C,   onde M=montante, J=juros e C= capital inicial.

Solução: J= 100.2.2/100 --> J=400/100 --> J=4,00........  M=100+4= 104,00 

A seguir abordaremos as principais fórmulas utilizadas:

3.1 - Para calcular os juros:  J= C.i.t/100, onde J=juros, C=capital inicial, i=taxa de juros do período, t=período

3.2 -  A partir desta, derivam as seguintes fórmulas: C= J.100/i.t  ou    i= J.100/C.t  ou    t= J.100/C.i

Exercícios:

1) Calcular os juros simples finais e o montante numa aplicação em Banco de 1.000,00 numa taxa de 12% mensal que ficou a disposição da instituição financeira por 3 meses?

Solução:

Utilizando a fórmula: J=Cit/100 temos: J= 1000.12.3/100 ---> J= 36000/100  --> J=360,00

M= C+J ---> M= 1000,00+360,00 ---> M= 1.360,00

logo: juros simples finais foram de 360,00 e o montante final ficou em 1.360,00

2) Calcular qual a taxa de juros simples, uma aplicação de 2.000,00 foi contratada para gerar um montante de 2.200,00 num prazo de 6 meses?

Solução: Devemos aplicar a fórmula: i= J.100/C.t, mas como não temos o valor dos juros, devemos deduzir que J= M-C ou seja: J= 2.200,00-2.000,00 ---> J= 200,00.
Aplicando-se a fórmula temos: i = 200.100/2.000.6 ---> i= 20000/12000  --->i=1,66...%ao mês. 

logo, a taxa de juros é de aproximadamente: 1,67 mensais

Juros Compostos

Caso os juros fossem se capitalizando, essas fórmulas acima não podem ser utilizadas, pois neste caso, o capital fica atualizado ao final de cada período.

No exemplo acima, ele seria calculado da seguinte maneira:
1º mês: 2.000.1,67/100 --->33,40 de juros
2º mês: 2033,40.1,67/100 --->33,96 de juros
3º mês: 2067,36.1,67/100 --->34,52 de juros
4º mês: 2101,88.1,67/100 ---> 35,10 de juros
5º mês: 2136,98.1,67/100 ---> 35,69 de juros
6º mês: 2172,67.1,67/100 ---> 36,28 de juros

Montante ao final de 6 meses de R$ 2.208,95, portando juros de 208,95.

Será que existe uma fórmula prática para usarmos?
                                 t
Sim, M= C(1+i/100) , onde C= capital inicial, M= montante final, i= taxa do período e t=período total.
                                                         6                                 6
Portanto: M= 2000,00(1+1,67/100) --->M=2000(1,0167) -----> M=2000.(1,104478) --->M=2.208,95

Exercícios - Matemática Financeira

1. Suponhamos que você quer deixar 1.500,00 numa Agência bancária por um período de um ano e que foi negociado juros simples mensais de 2%.  Qual seria seu montante no final do período?

R: 1.860,00

2. No exercício anterior qual seria o montante caso os juros fossem compostos ou capitalizados mensalmente?                                                   12                       12                          

R: 1.902,36 Como calcular:  m=1500(1+2/100)---> m=1500.1,02--->m=1500.1,27--->m=1902,36

3. Se você tomou um empréstimo de 10.000,00 numa taxa de juros capitalizada de 6% semestralmente e for pagar somente os juros anuais.  Quanto terá que desembolsar ao final de um ano?

                                               2                                  2

Solução: M=10.000(1+6/100) ------>M=10000(1,06)------>M=10.000(1,12)--->M=11.236,00

Como: J= M-C ----> J=11236-10000--->J=1.236,00

logo, Resposta: 1.236,00

4. Tenho 2.346,00 hoje, mas daqui a 3 meses terei que pagar uma dívida de 3.123,00.  Para honrar o compromisso, qual taxa de juros no trimestre tenho que aplicar a esse capital inicial?

R: 33,12% 

5. Se quiser ganhar 20% bruto numa mercadoria que é vendida por 200,00, qual o preço de custo que tenho que pagar por ela?

Solução: 200/1,20 --->166,67

6. Quanto paguei por uma mercadoria se estou vendendo ela com um prejuízo de 10% e seu preço atual de venda é de 500,00?

R: 555,55

Observação: Se tiver dúvida na solução de algum exercício, deixe seu comentário abaixo que postaremos a solução detalhada. 

.........................................................................................................................................

Resposta do teste sobre Logaritmos inseridos na postagem anterior: 
1) a) x=2, b) y=3, c)z=3, d) w=2, e) v=0, f) impossível pois a base é 1/2 (menor que zero)

2) a) x=3/2,  b) x= -6,   c) x=1/6

Bons Estudos