Produtos Notáveis

São produtos ou expressões algébricas que aparecem frequentemente quando estamos resolvendo equações    ou solucionando questões em concursos, provas, testes, etc.

Alguns casos importantes:

a) (a+b)² = (a+b).(a+b) 

= a²+ab+ba+b²  = a²+2ab+b² 

Veja demonstração ao lado, utilizando-se  a área de um quadrado de lados a+b.

Como consequência da       expressão acima, podemos deduzir que:

b) (a-b)² = (a-b).(a-b) = a²-ab-ba+b²  = a²-2ab+b² 

c) (a+b).(a-b) = a²-ab+ba-b² = a² - b²

Então, resumidamente teremos:

a) (a+b)² = a²+2ab+b² 

b) (a-b)² = a²-2ab+b² 

c) (a+b).(a-b) =  a² - b²

Fatoração

Fatorar uma expressão algébrica é transformá-la em um produto.

1º caso – Fator comum evidente.

Ex. 6x²+12x³-10xx³a

Como menor divisor comum entre 6,12 e 10 é 2 e o menor fator comum é x², então:

6x²+12x³z-10x ⁴a = 2x²(3+6xz-5x²a)

2º caso – Agrupamento

xy+xz+ay+az = x(y+z)+a(y+z)= (y+z)(x+a)

3º caso – Diferença de dois quadrados

x²-y²= (x+y)(x-y)

4º caso – Trinômio quadrado perfeito

a) (x+y)²= x²+2xy+y²                        b) (x-y)²= x²-2xy+y²

5º caso – Trinômio do segundo grau

São expressões do tipo: x²+Sx+P.

S e P representam respectivamente a soma e o produto de dois números a e b tal que:

x² + Sx +P = (x+a)(x+b)

Exemplos:

a) x²+7x+12 = (x+3)(x+4)   ....     Observe que a soma 3+4=7 e produto 3.4=12

b) x²-6x+8 = (x-2)(x-4)   ....     Observe que a soma -2-4=-6 e produto -2.(-4)=8

b) x²+2x-8 = (x-2)(x+4)   ....     Observe que a soma -2+4=2 e produto -2.(4)=-8

Exercícios

1) Desenvolva com o auxilio dos produtos notáveis:

a) (2+x)²

2²+2.2x+x²=

4+4x+x²

b) (x-1/2)²

x²+2.x(-1/2)+(1/2)²=

x²-x+1/4

2) Simplifique:

a) x²-6x+9

      x²-9

x²-6x+9   = (x-3)²____  = (x-3)

     x²-9       (x-3)(x+3)      (x+3)

b) x²-5x+6

    x²-6x+9

  x²-5x+6  = (x-2)(x-3)  = x-2

  x²-6x+9       (x-3)²           x-3
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Resposta do exercício da postagem anterior (Equação do Segundo Grau)

A - Determine o valor dos coeficientes das equações quadráticas abaixo:

1) 2 x² + 7x + 5 = 0,  1) a = 2, b = 7 e c = 5

2) 3 x² + x + 2 = 0,    2) a = 3 , b = 1 e c = 2

3)  x² -7 x + 10 = 0,  3) a = 1, b = -7 e c = 10

4) 5x² - x -3 = 0,      4) a = 5, b = -1 e c = -3

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