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terça-feira, 8 de abril de 2014

Geometria Plana I

Os estudos iniciais sobre Geometria Plana que também pode ser denominada Geometria Euclidiana em homenagem a Euclides de Alexandria (360 a.C. - 295 a.C.), grande matemático educado na cidade de Atenas e frequentador da escola fundamentada nos princípios de Platão.  Sabemos que ela tem muito a ver com a Grécia antiga, onde foi difundida e foi lá que se iniciaram os seus estudos.

Os princípios que levaram à elaboração da Geometria Euclidiana eram baseados nos estudos do ponto, da reta e do plano.

O ponto era considerado um elemento que não tinha definição plausível, a reta era definida como uma sequência infinita de pontos e o plano definido através da disposição de retas.

As definições teóricas da Geometria de Euclides estão baseadas em axiomas, postulados, definições e teoremas que estruturam a construção de variadas formas planas.






Os polígonos são representações planas que possuem definições, propriedades e elementos.

Podemos relacionar à Geometria plana aos seguintes conteúdos programáticos:

Ponto, reta e plano
Posições relativas entre retas
Ângulos
Triângulos
Quadriláteros
Polígonos
Perímetro
Áreas de regiões planas

Ponto, reta e plano

São noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições.
As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então eles serão aceitos sem definição.

Para entender alguns conceitos primitivos em Geometria, segue algumas considerações:

Ponto: Nos da ideia de uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, um grão de areia, etc.
É representado por uma letra maiúscula do nosso alfabeto. Exemplo: Ponto A, B, C, etc.
. A, . B, . C, etc,



Reta: É representada por uma letra minúscula do nosso alfabeto (r, s, t, u ...) e nos da uma ideia de um fio esticado, lados de um quadro, etc.








Plano: O quadro negro, a superfície de uma mesa, uma parede, etc...










São representados por letras gregas minúsculas (Alfa, Beta e Gama). Plano Alfa (rosa), Plano Beta (azul claro) e Plano Gama (amarelo).

Observação: 

1) Por um único ponto passam infinitas retas. De um ponto de vista prático, imagine o Pólo Norte e todas as linhas meridianas (imaginárias) da Terra passando por este ponto. 
2) Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos, mas dois pontos distintos determinam uma única reta.
3) Em um plano e também fora dele, há infinitos pontos.










As expressões "infinitos pontos" ou "infinitas retas", significam "tantos pontos ou tantas retas quantas você desejar".












Pontos Colineares  
Pontos colineares: São pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura da esquerda, os pontos A, B e C são colineares, pois todos pertencem à mesma reta r. Na figura da direita, os pontos R, S e T não são colineares, pois T não pertence a reta s.
 






Semi-Retas
Semi-retas: Um ponto O sobre uma reta s, divide esta reta s em duas semi-retas. O ponto O é a origem comum às duas semi-retas que são denominadas semi-retas opostas e tem infinitos pontos.




Veja a figura abaixo:
O ponto A é a origem da semi-reta que contém os pontos A, com sentido à esquerda(-¥) e ele também é a origem da semi-reta que contém os pontos A e B de sentido à direita(+¥).
Com o ponto B, também temos duas semi-retas com sentido à esquerda e a direita.  




Segmentos Consecutivos, Colineares, Congruentes e Adjacentes
Dada uma reta s e dois pontos distintos A e B sobre a reta, o conjunto de todos os pontos localizados entre A e B, inclusive os próprios extremos A e B, recebe o nome de segmento de reta, neste caso, denotado por AB. 
Às vezes, é interessante trabalhar com segmentos que tem início em um ponto chamado origem e terminam em outro ponto chamado extremidade
Os segmentos de reta são classificados como: consecutivos, colineares, congruentes e adjacentes.





Segmentos Consecutivos: Dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade de um deles é também extremidade do outro, ou seja, uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro.
AB e BC
são consecutivos
MN e NP
são consecutivos
EF e GH
não são consecutivos







Segmentos Colineares: Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta.
AB e CD
são colineares
MN e NP
são colineares
EF e FG
não são colineares


Sobre segmentos consecutivos e colineares, podemos ter algumas situações:
 
Os segmentos AB, BC e CD são consecutivos e colineares, mas os segmentos AB e CD não são consecutivos embora sejam colineares, mas os segmentos de reta EF e FG são consecutivos e não são colineares


Segmentos Congruentes: são aqueles que têm as mesmas medidas. No desenho ao lado, AB e CD são congruentes. A congruência entre os segmentos AB e CD é denotada por AB~CD, onde "~" é o símbolo de congruência.





Segmentos Adjacentes: Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes, se possuem em comum apenas uma extremidade e não têm outros pontos em comum. MN e NP são adjacentes, tendo somente N em comum. MP e NP não são adjacentes, pois existem muitos pontos em comum.



Ponto Médio de um segmento

M é o ponto médio do segmento de reta AB, se M divide o segmento AB em dois segmentos congruentes, ou seja, AM ~MB.
O ponto médio é o ponto de equilíbrio de um segmento de reta.  Ele divide uma segmento em duas partes iguais.






Retas paralelas

Duas retas são paralelas se estão em um mesmo plano e não possuem qualquer ponto em comum. Se as retas são coincidentes ("a mesma reta") elas são paralelas.
É usual a notação a||b, para indicar que as retas a e b são paralelas.

Propriedade da reta paralela: Por um ponto localizado fora de uma reta dada, pode ser traçada apenas uma reta paralela. Este fato é verdadeiro apenas na Geometria Euclidiana, que é a Geometria do nosso cotidiano.






Retas concorrentes
Duas retas são concorrentes se possuem um único ponto em comum. Um exemplo de retas concorrentes pode ser obtido pelas linhas retas que representam ruas no mapa de uma cidade e a concorrência ocorre no cruzamento das retas (ruas).

Retas perpendiculares
Ângulo reto: Um ângulo que mede 90 graus. Todos os ângulos retos são congruentes. Este tipo de ângulo é fundamental nas edificações.

Retas perpendiculares: são retas concorrentes que formam ângulos de 90 graus. Usamos a notação a b para indicar que as retas a e b são perpendiculares.








Propriedade da reta perpendicular: Por um ponto localizado fora de uma reta dada, pode ser traçada apenas uma reta perpendicular.







Retas transversais e ângulos especiais


Reta transversal a outras retas, é uma reta que tem interseção com as outras retas em pontos diferentes.  Na figura abaixo, a reta t é transversal às retas m e n e estas três retas formam 8 ângulos, sendo que os ângulos 3, 4, 5 e 6 são ângulos internos e os ângulos 1, 2, 7 e 8 são ângulos externos










Abordaremos os demais temas: Triângulos, Quadriláteros, Polígonos, Perímetro e Áreas de regiões planas em postagens futuras. 
Bons Estudos!







2 comentários:

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