Probabilidades

Experimentos Aleatórios

Definição: São aqueles experimentos que podem apresentar resultados diferentes, mesmo quando repetidos em condições idênticas.

Exemplos:

1) Ao lançarmos uma moeda, não podemos prever qual das duas faces ficará voltada para cima.

2) Ao retirarmos uma bola de uma urna que contém 3 bolas brancas e 3 bolas vermelhas do mesmo tamanho, não podemos saber a cor da bola que foi retirada.

Sendo assim esses são experimentos tidos como aleatórios.

Por outro lado, experimentos previsíveis mesmo antes de realizados são chamados determinísticos.

Exemplo: Se submetermos à pressão atmosférica, pode-se prever que a água entrara em ebulição à temperatura de 100ºC.

Espaço Amostral

Definição: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.  Notação S.

Número do Espaço Amostral é a quantidade de elementos que o compõem. Notação: n(S)

Exemplos:
1) No lançamento de uma moeda e verificando-se a face que ficou voltada para cima, temos:
S= {cara, coroa}
n(S)= 2

2) No lançamento de um dado a face exposta na face de cima que pode ser: 1, 2 , 3, 4, 5, 6, logo:
S={ 1, 2 , 3, 4, 5, 6 }
n(S)= 6

3) Lançamento simultâneo de dois dados diferentes, temos:
S= { (1,1), (1,2), (1,3),(1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), ..., (2,6), (3,1), ..., (3,6), (4,1), ..., (4,6), (5,1), ...(5,6), (6,1)..., (6,6)}
n(S) = 6² →n(S) = 36

Evento

Definição: É qualquer subconjunto do espaço amostral.
Exemplo: No lançamento de um dado não viciado, podemos ter os seguintes eventos:

1) Evento A: Ocorrência de um número ímpar.
A = {1, 3, 5}

2) Evento B: Ocorrência de um número maior que 6.
B = {Ø}
B é chamado de EVENTO IMPOSSÍVEL.

Exercício
Escreva o espaço amostral S e a quantidade de elementos n(S) dos eventos abaixo:
a) Lançamento simultâneo de duas moedas diferentes e não viciadas.
Consideremos cara = c e coroa=k.
S={ (c,c),(c,k),(k,k ,(k,c)} 
n(S) = 2² →n(S) = 4.

b) Lançamento simultâneo de três dados diferentes.
S={(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3)... (1,1,6),(2,1,1),(2,1,2)...(2,1,6), ..., (6,1,1), (6,1,2), (6,1,3), ...(6,6,6)}
n(S)= 6³ →n(S)= 216

c) Considere o seguinte experimento aleatório: a retirada simultânea de duas cartas de um baralho composto por 52 cartas.  Qual o número de elementos do espaço amostral S?
Seja número de cartas = 52 e p=2 (nº de elementos em cada grupo)
n(S) = C52,2 (nº combinações de 52 elementos 2 a 2, uma vez que a mudança de ordem dos elementos em cada par não dá origem a um novo par
Relembrando: Cn,p = n! ÷ p!(n-p)! ou seja: C52,2 = 52! ÷ 2!(52-2)! →C52,2 = 52.51.50! ÷2.1.50! →C52,2 = 52.51/2 →
C52,2 =1326

d) No experimento anterior, calcule o nº de elementos dos seguintes eventos:
A= As duas cartas retiradas são damas.
n= 4 (4 damas temos no baralho) e p=2 (cartas retiradas)
n(A)= C4,2 = 6

B= As duas cartas retiradas não são damas.
n= 52-4 =48 e p=2 → n(B) = C48,2 = 1128

Eventos Mutuamente Exclusivos






Dois eventos A e B contidos num espaço amostral S são tidos MUTUAMENTE EXCLUSIVOS se e somente se A∩B = Ø

Exemplo:
Seja o lançamento de um dado e os eventos:
A: Ocorrer número menor que 3 → A= {1,2}
B: Ocorrer número maior que 4 → B= {5,6}
A∩B =Ø

Eventos Complementares
Chamamos evento complementar de A que está contido em S,  ao evento Ä=S-A

Exemplo:
Seja o lançamento de um dado e o evento:
A: Ocorrer número ímpar. → A= {1,3,5}
Ä: Ocorrer nº não ímpar ou ocorrer par → Ä = {2,4,6}

Observação: O espaço amostral S é equiprovável ou seja todos os seus elementos têm a mesma probabilidade.

Probabilidade

Definição: Chama-se probabilidade de um evento A C S, ao número: P(A) = n(A)/n(S)
P(A) = probabilidade de ocorrer o evento A
onde n(A) = quantidade de elementos do evento A
n(S) = quantidade de todos os elementos do espaço amostral S

Propriedades
1) 0<=P(A)<=1
2) P(A)+P(Ä) =1

Exemplos:
1) No lançamento de um dado cúbico, qual a probabilidade de ocorrer:

a) o número 3
S={1,2,3,4,5,6}
A={3}
P(A) = n(A)/N(S) →P(A) = 1/6 ou P(A)= 0,16...

b) um número primo
S={1,2,3,4,5,6}
A={2,3,5}
P(A) = n(A)/N(S) →P(A) = 3/6 ou P(A)= 1/2

c) um número de dois dígitos
S={1,2,3,4,5,6}
A= Ø
P(A) = n(A)/N(S) →P(A) = 0/6 ou P(A)= 0

d) um número múltiplo de 1
S={1,2,3,4,5,6}
A={1,2,3,4,5,6}
P(A) = n(A)/N(S) →P(A) = 6/6 ou P(A)= 1

2) No lançamento simultâneo de dois dados diferentes, calcule a probabilidade de ocorrer:
a) A soma de dois números igual a 5
S={(1,1), ...(1,6), ...,(6,1), ...,(6,6)} →n(S) =36
A={(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} →n(A) =4
P(A) = n(A)/N(S) →P(A) = 4/36 ou P(A)= 1/9

b) Os dois números serem primos e distintos
S={(1,1), ...(1,6), ...,(6,1), ...,(6,6)} →n(S) =36
A={(2,3), (2,5),(3,2),(3,5),(5,2),(5,3)} →n(A) =6
P(A) = n(A)/N(S) →P(A) = 6/36 ou P(A)= 1/6

3) No lançamento simultâneo de duas moedas diferentes, calcule a probabilidade de ocorrer:

a) Exatamente duas coroas
S={cc, ck, kk,kc}, onde c=cara e k=coroa →n(S) =4
A={kk} →n(A) =1
P(A) = n(A)/N(S) →P(A) = 1/4 ou P(A)= 0,25

b) Apenas uma cara
S= {cc,ck,kk,kc}
A= {ck,kc}

P(A) = n(A)/N(S) →P(A) = 2/4 ou P(A)= 1/2

c) Pelo menos uma coroa
S= {cc,ck,kk,kc}
A= {ck,kk,kc}

P(A) = n(A)/N(S) →P(A) = 3/4 ou P(A)= 0,75

4) De um baralho com 52 cartas, retirando-se aleatoriamente uma carta, calcule a probabilidade de ocorrer:

Observação: Um baralho contém 52 cartas divididas em 4 naipes: copas, paus, ouros e espadas. Cada naipe contém 13 cartas, das quais 9 são numeradas de 2 a 10,  reis,  valetes,  damas e  áses. 

a) Um rei
S={Todas 52 cartas } →n(S) =52
A={rei de paus, rei de copas, rei de ouros, rei de espadas } →n(A) =4
P(A) = n(A)/N(S) →P(A) = 4/52 ou P(A)= 1/13

b) Um rei de ouros
S={Todas 52 cartas } →n(S) =52
A={rei de ouros} →n(A) =1
P(A) = n(A)/N(S) →P(A) = 1/52 

c) Uma carta de copas
S={Todas 52 cartas } →n(S) =52
A={13 cartas de copas } →n(A) =13
P(A) = n(A)/N(S) →P(A) = 13/52 ou P(A)= 1/4 

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