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quarta-feira, 30 de abril de 2014

Probabilidades


Experimentos Aleatórios

Definição: São aqueles experimentos que podem apresentar resultados diferentes, mesmo quando repetidos em condições idênticas.

Exemplos:
1) Ao lançarmos uma moeda, não podemos prever qual das duas faces ficará voltada para cima.
2) Ao retirarmos uma bola de uma urna que contém 3 bolas brancas e 3 bolas vermelhas do mesmo tamanho, não podemos saber a cor da bola que foi retirada.
Sendo assim esses são experimentos tidos como aleatórios.

Por outro lado, experimentos previsíveis mesmo antes de realizados são chamados determinísticos.
Exemplo: Se submetermos à pressão atmosférica, pode-se prever que a água entrara em ebulição à temperatura de 100ºC.

Espaço Amostral
Definição: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.  Notação S.
Número do Espaço Amostral é a quantidade de elementos que o compõem. Notação: n(S)

Exemplos:
1) No lançamento de uma moeda e verificando-se a face que ficou voltada para cima, temos:
S= {cara, coroa}
n(S)= 2

2) No lançamento de um dado a face exposta na face de cima que pode ser: 1, 2 , 3, 4, 5, 6, logo:
S={ 1, 2 , 3, 4, 5, 6 }
n(S)= 6

3) Lançamento simultâneo de dois dados diferentes, temos:
S= { (1,1), (1,2), (1,3),(1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), ..., (2,6), (3,1), ..., (3,6), (4,1), ..., (4,6), (5,1), ...(5,6), (6,1)..., (6,6)}
n(S) = 6² →n(S) = 36

Evento

Definição: É qualquer subconjunto do espaço amostral.
Exemplo: No lançamento de um dado não viciado, podemos ter os seguintes eventos:

1) Evento A: Ocorrência de um número ímpar.
A = {1, 3, 5}

2) Evento B: Ocorrência de um número maior que 6.
B = {Ø}
B é chamado de EVENTO IMPOSSÍVEL.

Exercício
Escreva o espaço amostral S e a quantidade de elementos n(S) dos eventos abaixo:
a) Lançamento simultâneo de duas moedas diferentes e não viciadas.
Consideremos cara = c e coroa=k.
S={ (c,c),(c,k),(k,k ,(k,c)} 
n(S) = 2² →n(S) = 4.

b) Lançamento simultâneo de três dados diferentes.
S={(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3)... (1,1,6),(2,1,1),(2,1,2)...(2,1,6), ..., (6,1,1), (6,1,2), (6,1,3), ...(6,6,6)}
n(S)= 6³ →n(S)= 216

c) Considere o seguinte experimento aleatório: a retirada simultânea de duas cartas de um baralho composto por 52 cartas.  Qual o número de elementos do espaço amostral S?
Seja número de cartas = 52 e p=2 (nº de elementos em cada grupo)
n(S) = C52,2 (nº combinações de 52 elementos 2 a 2, uma vez que a mudança de ordem dos elementos em cada par não dá origem a um novo par
Relembrando: Cn,p = n! ÷ p!(n-p)! ou seja: C52,2 = 52! ÷ 2!(52-2)! →C52,2 = 52.51.50! ÷2.1.50! →C52,2 = 52.51/2 →
C52,2 =1326

d) No experimento anterior, calcule o nº de elementos dos seguintes eventos:
A= As duas cartas retiradas são damas.
n= 4 (4 damas temos no baralho) e p=2 (cartas retiradas)
n(A)= C4,2 = 6

B= As duas cartas retiradas não são damas.
n= 52-4 =48 e p=2 → n(B) = C48,2 = 1128

Eventos Mutuamente Exclusivos






Dois eventos A e B contidos num espaço amostral S são tidos MUTUAMENTE EXCLUSIVOS se e somente se A∩B = Ø










Exemplo:
Seja o lançamento de um dado e os eventos:
A: Ocorrer número menor que 3 → A= {1,2}
B: Ocorrer número maior que 4 → B= {5,6}
A∩B =Ø

Eventos Complementares
Chamamos evento complementar de A que está contido em S,  ao evento Ä=S-A








Exemplo:
Seja o lançamento de um dado e o evento:
A: Ocorrer número ímpar. → A= {1,3,5}
Ä: Ocorrer nº não ímpar ou ocorrer par → Ä = {2,4,6}

Observação: O espaço amostral S é equiprovável ou seja todos os seus elementos têm a mesma probabilidade.

Probabilidade

Definição: Chama-se probabilidade de um evento A C S, ao número: P(A) = n(A)/n(S)
P(A) = probabilidade de ocorrer o evento A
onde n(A) = quantidade de elementos do evento A
n(S) = quantidade de todos os elementos do espaço amostral S

Propriedades
1) 0<=P(A)<=1
2) P(A)+P(Ä) =1

Exemplos:
1) No lançamento de um dado cúbico, qual a probabilidade de ocorrer:

a) o número 3
S={1,2,3,4,5,6}
A={3}
P(A) = n(A)/N(S) →P(A) = 1/6 ou P(A)= 0,16...

b) um número primo
S={1,2,3,4,5,6}
A={2,3,5}
P(A) = n(A)/N(S) →P(A) = 3/6 ou P(A)= 1/2

c) um número de dois dígitos
S={1,2,3,4,5,6}
A= Ø
P(A) = n(A)/N(S) →P(A) = 0/6 ou P(A)= 0

d) um número múltiplo de 1
S={1,2,3,4,5,6}
A={1,2,3,4,5,6}
P(A) = n(A)/N(S) →P(A) = 6/6 ou P(A)= 1

2) No lançamento simultâneo de dois dados diferentes, calcule a probabilidade de ocorrer:
a) A soma de dois números igual a 5
S={(1,1), ...(1,6), ...,(6,1), ...,(6,6)} →n(S) =36
A={(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} →n(A) =4
P(A) = n(A)/N(S) →P(A) = 4/36 ou P(A)= 1/9

b) Os dois números serem primos e distintos
S={(1,1), ...(1,6), ...,(6,1), ...,(6,6)} →n(S) =36
A={(2,3), (2,5),(3,2),(3,5),(5,2),(5,3)} →n(A) =6
P(A) = n(A)/N(S) →P(A) = 6/36 ou P(A)= 1/6

3) No lançamento simultâneo de duas moedas diferentes, calcule a probabilidade de ocorrer:









a) Exatamente duas coroas
S={cc, ck, kk,kc}, onde c=cara e k=coroa →n(S) =4
A={kk} →n(A) =1
P(A) = n(A)/N(S) →P(A) = 1/4 ou P(A)= 0,25

b) Apenas uma cara
S= {cc,ck,kk,kc}
A= {ck,kc}
P(A) = n(A)/N(S) →P(A) = 2/4 ou P(A)= 1/2

c) Pelo menos uma coroa
S= {cc,ck,kk,kc}
A= {ck,kk,kc}
P(A) = n(A)/N(S) →P(A) = 3/4 ou P(A)= 0,75

4) De um baralho com 52 cartas, retirando-se aleatoriamente uma carta, calcule a probabilidade de ocorrer:
Observação: Um baralho contém 52 cartas divididas em 4 naipes: copas, paus, ouros e espadas. Cada naipe contém 13 cartas, das quais 9 são numeradas de 2 a 10,  reis,  valetes,  damas e  áses. 
a) Um rei
S={Todas 52 cartas } →n(S) =52
A={rei de paus, rei de copas, rei de ouros, rei de espadas } →n(A) =4
P(A) = n(A)/N(S) →P(A) = 4/52 ou P(A)= 1/13

b) Um rei de ouros
S={Todas 52 cartas } →n(S) =52
A={rei de ouros} →n(A) =1
P(A) = n(A)/N(S) →P(A) = 1/52 

c) Uma carta de copas
S={Todas 52 cartas } →n(S) =52
A={13 cartas de copas } →n(A) =13
P(A) = n(A)/N(S) →P(A) = 13/52 ou P(A)= 1/4 

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2 comentários:

  1. Muito bom, isso vai me ajudar muito na prova do concurso público que vou fazer em breve.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Espero que passe no concurso pretendido, mas precisa se preparar muito. Acesse também as dicas de questões e outros conteúdos do blog.
      Um abraço!

      Excluir

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