Relação de Euler

O matemático suíço Leonhard Euler criou uma relação que determinava o número de arestas, vértices e faces de qualquer poliedro convexo e alguns não convexos. Essa relação nos permite determinar o número de elementos de um poliedro. A fórmula criada por Euler é a seguinte: 

V – A + F = 2, onde V = número de vértices, A = número de arestas e F = número de faces.

Poliedro convexo é aquele que em relação a uma face qualquer está inteiramente situado num mesmo semi-espaço em relação a essa face. 

Outros Exemplos: Veja alguns exemplos e o número de faces deles:

Tetraedro = Quatro faces

Pentaedro = Cinco faces

Hexaedro = Seis faces

Heptaedro = Sete faces

Octaedro = Oito faces

Decaedro = Dez faces

Dodecaedro = Doze faces

Icosaedro = Vinte faces

Poliedros de Platão

Só existem cinco tipos de poliedros de Platão, regulares ou não, que são: 1. Tetraedro 2. Octaedro 3. Icosaedro 4. Hexaedro 5. Dodecaedro

Exemplo de poliedro não convexo. 
Note que se traçarmos uma reta em seu interior, ela intercepta o sólido em mais de dois pontos distintos.

Mas, vamos ver a aplicação da relação de Euler em alguns poliedros abaixo:

Exemplo 1

Ache o número de faces de um sólido que possui 12 arestas e 6 vértices.
Resolução:
V – A + F = 2
6 – 12 + F = 2
–6 + F = 2
F = 6 + 2
F = 8
Logo, o sólido possui 8 faces.


Exemplo 2

Determine o número de vértices de uma pirâmide quadrangular a seguir:

Visivelmente, vemos que  a pirâmide possui 5 vértices, 5 faces e 8 arestas.

Será que a relação de Euler é válida na determinação dos elementos da pirâmide de base quadrangular?
Resolução:
Vértices
V – A + F = 2
V – 8 + 5 = 2
V = 2 + 3
V = 5

Arestas
V – A + F = 2
5 – A + 5 = 2
–A = 2 – 10
–A = –8 x(–1)
A = 8

Faces
V – A + F = 2
5 – 8 + F = 2
–3 + F = 2
F = 2 + 3
F = 5

Notamos então, que a relação de Euler é  válida na determinação dos elementos de um sólido convexo.

Exemplo 3

O número de faces de um poliedro convexo de 24 arestas é igual ao número de vértices. Determine, utilizando a relação de Euler, o número de faces do poliedro.
Resolução:
Considerando que o número de faces é igual ao número de vértices, representaremos os valores desconhecidos pela incógnita x. Dessa forma, F = x e V = x. Então: V=F=x

Aplicando a relação de Euler:
V – A + F = 2
x – 24 + x = 2
2x = 2 + 24
2x = 26

x=26/2
x = 13

Portanto, o número de faces do poliedro com 24 arestas é igual a13, →F=13

Provando:

V+F = A+2

x+13=24+2

x=26-13

x=13 →V=F=13

→13+13=24+2

→26=26 (verdadeiro)

Exemplo 4

Um poliedro convexo possui 4 faces triangulares e 3 faces hexagonais. Determine o número de arestas e de vértices desse poliedro.

Arestas= 4 faces triangulares = 4.3 = 12 arestas

                3 faces hexagonais = 3.6 = 18 arestas

Total de arestas = 12+18 = 30

Como uma aresta é comum a duas faces, então total de arestas = 30/2 = 15 arestas

Aplicando a rel. de euler temos: V+F=A+2, → V+7 = 15+2   → V= 17-7 →V=10

Resposta: O poliedro possui 15 arestas e 10 vértices.

Exercícios

1. Determine o número de vértices de um poliedro convexo que possui 8 faces e 14 arestas. Resp. 8

2. Quantas faces possui um poliedro convexo de 12 vértices e 20 arestas?  Resp. 10

3. Qual o número de arestas de um poliedro convexo de 6 vértices e 8 faces? Resp. 12

4. Determine o numero de vértices de um poliedro convexo que possui 3 faces triangulares, 1 face pentagonal e 2 faces quadrangulares.  Resp. 7

5. Um poliedro convexo apresenta 3 faces quadrangulares, 2 faces hexagonais e 4 faces triangulares. Quantos vértice tem esse poliedro?  Resp. 11

(Caso tenha dúvidas na solução de algum exercício, deixe seu recado abaixo)

Bons Estudos

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