Sistema de Equações Lineares

Equação Linear

É toda equação que possui uma ou mais variáveis de primeiro grau e apresenta-se da seguinte forma: a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + amxn = b, onde:

·      a1, a2, a3, .....,am: são os coeficientes reais;

·      variáveis: x1, x2, x3, ..., xn;

·      b:  é um número real e o termo independente.

Exemplos:x + y + z = 10 → coeficientes: 1, 1 e 1, variáveis x, y e z, termo independente: 10:
-2x –3y + 5z = 8 → coeficientes: -2, -3 e 5, variáveis x, y e z, termo independente: 8;

Aplicações em outras áreas do conhecimento

As equações lineares com coeficientes reais são de grande importância na física, engenharia e na matemática aplicada. Muitos problemas modelados por equações não lineares podem ser aproximados localmente por equações lineares.

Essas áreas do conhecimento valem-se largamente do emprego de variedades, objetos geométricos que podem ser aproximados, localmente, por espaços euclidianos, objetos geométricos descritos corretamente por equações lineares.

Sistema de Equações Lineares ou simplesmente Sistema Linear
É um conjunto composto de p equações lineares com as variáveis x1, x2, x3,....,xn, formam um sistema linear com p equações e n incógnitas.

Exemplos:
3x + y = 3
3x – y = 1
Sistema linear com duas equações e duas variáveis.

21x + 5y – 6z = 54
25x – y + 10z = 30
Sistema linear com duas equações e três variáveis.

10x + 10y – 12z = 120
40x – 2y – 20z = 60
–15x - y + 5z = 10
Sistema linear com três equações e três variáveis.

2x – y – z + w = 10
-x + 3y + 5z – 2w = -21
40x – 2y – z + w = 116
Sistema linear com três equações e quatro variáveis.


Solução de um sistema linear

Sabemos que nem todos os sistemas lineares tem solução, mas aqueles sistema que tiverem uma ou mais soluções, elas devem satisfazer todas as equações que compõem o mesmo.

Veja os exemplos:

Exemplo 1)

x + y = 6
x – y = 4 

Assim sendo, a solução deste sistema é o par ordenado (5,1), pois ele satisfaz as duas equações do sistema linear.

Observe que:
x = 5 e y = 1 é solução por que:

substituindo-os na equação: x + y = 6 →5 + 1 = 6 →6 = 6
substituindo-os na equação: x-y = 4 →5 – 1 = 4 →4 = 4

Exemplo 2)

Dado o sistema:
3x + 3y + 3z = 30
x – 2y + 2z = 3
2x – 2y – 2z = 0

Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele satisfaz as três equações do sistema linear.

Veja que:
Quando os valores de (x, y, z) =(5, 3, 2) são substituídos nas equações do sistema acima, temos:
3 * 5 + 3 * 3 + 3 * 2 = 33 →15 + 9 + 6 = 30  →    30 = 30
1 * 5 – 2 * 3 + 2 * 2 =3 → 5 – 6 + 4 = 3 →       3 = 3
2 * 5 – 2 * 3 – 2 * 2 = 0  → 10 – 6 – 4 = 0  →     0 = 0


Classificação de um sistema linear 

De acordo com o número de soluções apresentadas pelo sistema, ele pode ser:

– Possui apenas uma solução SPD – Sistema Possível e Determinado.
– Possui infinitas soluções SPI – Sistema Possível e Indeterminado.
– Não possui solução SI – Sistema Impossível.

Matriz Completa ou Incompleta de um sistema linear

Podemos associar todo sistema linear a uma matriz.

Um sistema linear pode estar associado a uma matriz, sendo que os seus coeficientes ocuparão as linhas e as colunas desta matriz, respectivamente.

Exemplo 1:
O sistema:
x + y = 13
x – y = 11

É representado por duas matrizes, uma completa e outra incompleta.

1) Matriz completa – Abrange todos os coeficientes de todas equações do sistema e estes comporão todas as colunas e linhas da matriz, inclusive dos termos independentes

No exemplo acima, teremos a matriz:

1	1	13
1	-1	11

2) Matriz incompleta – Abrange somente as colunas e linhas utilizando os coeficientes das variáveis.

Então, usando o mesmo sistema, a matriz acima ficará:

1	1
1	-1

Exemplo 2
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10

Matriz completa

1	10	-12	120
4	-2	-20	60
-1	1	5	10

Matriz incompleta

1	10	-12
4	-2	-20
-1	1	5

Obs.: O sistema também pode possuir uma representação matricial. Observe o sistema de equações lineares:
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10

Representação da equação matricial do sistema acima:

Se aplicarmos a multiplicação entre as duas matrizes chegamos ao resultado que é o sistema mencionado acima:

x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10

Resolução de um sistema linear

Existem muitas formas de se resolver um sistema linear, o qual que tem as soluções já abordadas acima, mas vamos ver algumas:

 

Método da substituição

O método da substituição consiste em isolar uma incógnita em qualquer uma das equações, obtendo igualdade com um polinômio. Após, devemos substituir essa mesma incógnita encontrada em outra das equações pelo polinômio ao qual ela foi igualada, até se achar o valor das incógnitas que satisfaçam ao sistema.

Exemplo:

x + y = 2

2x – y = 1

Isolamos o y acima, → y= 2-x

Substituindo y = 2-x na equação: 2x –y =1 →2x – (2-x) = 1 →2x -2 +x =1 →3x-2=1→ 3x = 1+2 →3x = 3 →x= 3/3 → x=1

Agora, basta substituir x=1 em qualquer uma das 2 equações para achar o valor do y, ou seja:

Em x+y = 2 →1+y = 2 →y= 2-1 →y=1

Portanto o par (1, 1) é solução do sistema acima.

Fatorizações de matrizes

São os métodos mais utilizados computacionalmente para resolver sistemas lineares e envolvem fatorizações de matrizes. O mais conhecido, é chamado de a eliminação de Gauss, que vamos abordar numa outra oportunidade.

Método do Escalonamento

É um método muito usado para solucionar sistemas de qualquer ordem.  Ele consiste em realizarmos combinações lineares entre as equações do sistema proposto, de modo que alguma delas sejam escritas com o menor numero de incógnitas que no modo original.

Veja o esquema abaixo, de como devemos deixar o sistema original escalonado:

ax + by + cz = k

        dy + ez = k’

                fz = k’’

onde: x, y e z são as variáveis e: a, b, c, d, e, f são os coeficientes e k, k’ e k’’ são os termos independentes.

Exemplo1

A) 2x -3y = 11

B) x + 2y = 2

1. passo: multipliquemos a equação B por -2, então:

A) 2x -3y = 11

B) -2x - 4y = -4

2. passo: somamos A+B e o resultado colocamos em B, então:

A+B = 2x-2x -3y-4y = 11-4 →0 -7y = 7 → -7y =7

A) 2x -3y = 11

B)       - 7y = 7

O sistema ficou escalonado agora, basta resolvê-lo por substituição.

Sendo: -7y = 7 →y= -7/7 →y= -1

logo: 2x -3y = 11 →2x -3(-1) = 11 →2x +3=11 →2x = 8→x = 8/2 →x=4

Exemplo2

A) x+3y+2z= 1

B) 2x -3y+z = 11

C) x + 2y-z = 2

Vamos escalonar o sistema:

D) somemos B+C, →2x+x -3y+2y +z-z= 11+2 →3x –y +0 =13

→3x-y=13

E) Subtraímos A+2C, →x+2x+3y+4y+2z-2z= 1+4 →3x+7y=5

F) Subtraímos: D-E →3x-3x –y-7y =13-5 →-8y =8 → y=-1

Então o sistema escalonado é:

3x+7y=5    ou  3x-y=13

       y=-1              y= -1

Agora usamos a substituição:

G) F em D →3x-y=13→ 3x-(-1)=13 →3x+1=13→ 3x=12→x=12/3→x=4

H) Substituindo G,F em A temos: x+3y+2z=1 →4+3(-1)+2z=1 →2z=1-1 →2z=0 →z=0

Portanto o trio (x,y,z) =(4,-1,0) é a solução do sistema.

Geometricamente, vemos que a solução de um sistema é exatamente o ponto onde as retas representada por cada equação se interceptam.

No exemplo do topo desta postagem, vemos as retas:

A) 2x+3y=6

B) -3x-y=5

Ponto (-3,4) de intersecção das retas.

Vamos escalonar: A+3B → 2x-9x+3y+3y = 6+15 →-7x=21 →x=-21/7→x=-3

Substituindo x=-3 em A, temos: 2(-3)+3y= 6→ -6+3y =6 →3y=12→y=12/3 →y=4

 

Regra de Cramer

A Regra de Cramer é uma fórmula explícita para a solução de um sistema de equações lineares, com cada variável dada por um quociente de dois determinantes.

É  uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só poderá ser utilizada na resolução de sistemas em que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais.

(Ela será abordada oportunamente em uma nova postagem)