As Operações Básicas da Matemática

Estatística e Considerações sobre o Aprendizado das Operações Básicas da Matemática
Veja o que diz um jornal de grande circulação do interior do Estado de São Paulo que efetuou uma pesquisa a pouco tempo atrás, envolvendo o aprendizado das operações básicas da matemática: "Menos da metade dos alunos deixa o ensino médio e inicia a vida universitária sem saber matemática básica. Num teste aplicado pelo Diário a 334 estudantes de escolas estaduais e particulares e faculdades de São José do Rio Preto, o índice médio de acerto, nas quatro questões em nível básico foi de 45,2%. O resultado revela que os estudantes desconhecem regras de porcentagem, sentem dificuldade para responder questões que envolvem raciocínio lógico e não sabem resolver problemas matemáticos que deveriam ser dominados no ensino fundamental". 

Sabemos que tem muita gente que se diz culta, com diploma em nível superior completo e que sofre calafrios ao ouvir falar em somar, subtrair, multiplicar e dividir. Para alguns, as quatro operações da aritmética se tornam um embaraço, especialmente quando não se tem uma calculadora no bolso, e muito mais então, quando os números vêm acompanhados com aquela famosa “vírgula” no meio ou no começo deles... E, sem o conhecimento de aritmética, o estudo de álgebra e da geometria, entre outros, se torna inviável. Com esse tipo de deficiência, a roda chamada: “eu odeio matemática”; não pára de crescer e de forma exponencial.

Sabermos as 4 operações básicas é mais do que necessário, para termos uma visão do que significam os outros ramos da matemática, que depois vamos estudar também. Nesse momento, nossa preocupação é apenas com a aritmética, que é o ramo da matemática, que trata dos números e das operações possíveis entre eles. Não apenas as quatro operações fundamentais, mas também porcentagens, radiciação e exponenciação fazem parte da aritmética. Outro conteúdo importantíssimo que todo aluno deve dominar logo após concluir este estudo é saber as operações básica com frações que aconselharmos que acesse e se inteire dele. No entanto, a aritmética é número puro, sem letras. Se adicionarmos na aritmética as letrinhas, ela vira álgebra. Mas esqueça a álgebra, vamos discutir aqui somente aritmética.

As Quatro Operações Básicas da Matemática

As operações básicas da matemática são quatro: 

● Adição (+)
● Subtração (-)
● Multiplicação (* ou x ou .) e
● Divisão (: ou / ou ÷)

Em linguagem comum, elas são chamados de aritmética ou operações aritméticas. 

A Aritmética é o ramo mais antigo e o mais elementar da matemática. 

Todas as demais operações em matemática são chamadas de não básicas.  Essas operações básicas e suas propriedades formam a base para todas as outras operações utilizadas na matemática.

Adição

É a operação matemática que explica o montante do total de objetos juntos de uma coleção. Por exemplo, se José tem 2 maçãs e Laura tem 3 maçãs, e queremos saber quantas maçãs eles têm juntos. Então, devemos unir os dois conjuntos e eles terão 5 maçãs juntos (2 de José + 3 de Laura = 5 maçãs no total). 

Como você pode ver, a adição é representada pelo "sinal de mais (+)".

Junto a este uso básico, a adição também pode ser usada para executar operações com números negativos, frações, números decimais, funções, etc. Existem várias propriedades que são típicas para a adição, que veremos adiante.

Subtração

A subtração representa a operação aritmética que é a oposta da adição. Ela é usada quando você quer saber quantos objetos são deixados no grupo, depois que você retirar uma certa quantidade de objetos a partir desse grupo. 

Por exemplo, Maria tem 5 maçãs e ela dá 2 maçãs para seu amigo Paulo. Com quantas maçãs que ela ficou? Ela ficou com 3 maçãs (5 maçãs que ela tinha menos 2 maçãs que ela deu a Paulo que é igual a 3 que são as maçãs que ficaram para ela).

Como  podemos ver, a subtração é determinado pelo "menos cujo símbolo é (-)". 

A Subtração também é usada para executar operações com números negativos, frações, números decimais, funções, etc

Propriedades da Adição 

As propriedades da ADIÇÃO a seguir discriminadas são algumas regras que devemos observar para efetuarmos as operações corretamente:

FECHAMENTO - Sempre que somamos dois ou mais números naturais, encontramos como resultado um número natural. Ex: 5 + 3 = 8 e 8 é número natural

COMUTATIVA: Sempre que somamos dois ou mais números naturais, a ordem das parcelas não alteram a soma.Ex: 25 +10 = 35 e 10 + 25 = 35

ASSOCIATIVA: Sempre que somamos três ou mais números naturais, podemos associar os dois primeiros ou os dois últimos. Ex: 10 + (12+15) = 10 + 27 = 37 ou

(10 + 12) + 15 = 22 + 15 = 37

Elemento Neutro: O zero (0) é o elemento neutro da adição, pois não muda o resultado final. Ex: 15 + 0 = 15 ou 0 +15 = 15

Cancelamento: Sempre que numa expressão de soma algébrica tivermos uma mesma parcela de "lados" diferentes, podemos cancelar essa parcela. EX: x + 20 = 20 + y → x = y

Elemento Oposto:

Adição: a + (-a)  =  0, (-a) + a  = 0

O valor oposto de um número a é -a, assim sendo o oposto de 7 é -7 e o oposto -7 é 7, pois -(-7)  =  7, visto que a multiplicação de dois números negativos produz um número positivo.

Ao adicionarmos a um número o seu elemento do oposto, obtemos como total o elemento neutro da adição, ou seja, o número 0:

7 + (-7) = 0

(-7) + 7 = 0

Multiplicação

A multiplicação de dois números é equivalente à adição de um número com ele próprio, tantas vezes quanto o valor que o outro número representa. Podemos simplificar isso, se você tem 5 grupos de maçãs e cada grupo tem 3 maçãs, você pode resolver isso assim:

3 maçãs + 3 maçãs + 3 maçãs + 3 maçãs + 3 maçãs= 15 maçãs no total.

Você pode ver que ele é muito trabalhoso (especialmente se você tiver um número ainda maior), assim você pode multiplicar esses números para resolver este problema dessa forma:

5 Grupo de maçãs x 3 maçãs em cada grupo = 15 maçãs no total.

Pode ser ainda mais fácil usando a seguinte tabela de multiplicação:

A multiplicação é representada com sinal de multiplicação "x", ou simplesmente um ponto "." e muitas vezes é lido por "um número vezes outro número". 

Em outras palavras, a multiplicação é uma operação matemática que é usada quando você quer saber quantas vezes um número é multiplicado em uma equação. Por Ex. 3 x 4 = 12, isto é o número 3 é 4 vezes multiplicado nesta equação que tem um produto ou resultado 12. 

Divisão

A divisão é a quarta operação básica de matemática. Basicamente, você pode dizer que significa dividir repartindo objetos em partes iguais ou em grupos. 
Por exemplo, você tem 12 maçãs que precisa ser dividido igualmente em 4 pessoas. Quantas maçãs receberá cada pessoa? Cada pessoa vai ter 3 maçãs (12 maçãs / 4 pessoas = 3 maçãs por pessoa). 

A operação da divisão é  o oposto da multiplicação:

3 x 4 = 12 →12/4 = 3 ou 12 ÷ 4 = 3

4 x 3 = 12 →12/3 = 4 ou 12 ÷ 3 = 4

Para agilizar a compreensão de como dividir dois números, veja na tabela algumas operações que envolvem algumas divisões:

Regras Aritméticas

Em operações envolvendo a matemática, você deve ter em mente que há uma seqüência que precisa ser respeitada, a fim de fazermos os cálculos corretamente.

Adição e subtração são operações matemáticas de primeiro grau e, as de multiplicação e divisão são operações matemáticas de segundo grau. 

Significa que: 

● se usadas as mesmas operações de primeiro grau, nós devemos resolver por sua ordem (da esquerda para a direita) :
Por exemplo,
18 -2 +  4 = 16 + 4 = 20. Isso só se aplica se não houver parênteses na equação. 

Quando houver parênteses, em primeiro lugar nós resolvemos os números que estão entre parênteses. 

Exemplo:
18 - (2 + 4) = 18 - 6 = 12.  

Note que existe uma diferença no resultado, mesmo com os mesmos números.

● se houver operações de graus diferentes, nós resolvemos as operações por ordem de grau, sendo que a multiplicação e a divisão devem ser feitas antes da adição e subtração.

Por exemplo:

2 + 3 x 4  = 2 + 12 = 14

4 x 5 - 8  = 20 - 8 = 12

Propriedades da Multiplicação:

Parte superior do formulário

Comutativa

Ex: a.b = b.a

Quanto à multiplicação temos que a ordem dos fatores não altera o produto.

Observe a seguinte igualdade:

4.5 = 5.4

O produto dos fatores do primeiro membro é igual a 20, justamente o mesmo produto da multiplicação dos termos do segundo membro.

Mesmo com os fatores em outra ordem o produto obtido é sempre o mesmo.

Associativa

Ex: (a . b) . c  =  a . (b . c)

A associação de alguns fatores não altera o produto.

Vejamos este outro exemplo:

(7 . 4) . 5 = 4 .(5 . 7)

Efetuando as multiplicações entre parênteses temos:

28 . 5 = 4 . 35

Observe que em ambos os membros o produto continua sendo igual a 140.

Distributiva

Multiplicação: a . (b + c) = a . b + a . c, (b + c) . a  =  b . a + c . a

Segundo a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, a multiplicação de um número por uma soma é igual a soma dos produtos deste número por cada uma das parcelas:

Exemplos:
2 . (3 + 4)  =  2 . 3 + 2 . 4

(2 + 3) . 4  =  2 . 4 + 3 . 4

Elemento Neutro

O elemento neutro de uma operação é um valor real que não interfere no seu resultado. Ao somarmos ou multiplicarmos um número por este valor, obtemos como resultado o próprio número inicial.

Exemplo: a .1 = a,  1 . a  =  a

O elemento neutro da multiplicação é o número um, pois multiplicando um número por um não alteramos o seu valor.

Observe que nos exemplos abaixo ao multiplicarmos 8 por 1 e o contrário, o produto continua sendo igual a 8:

8 . 1 = 8

1 . 8 = 8

Elemento Inverso

A propriedade do elemento do inverso é referente à multiplicação.

Exemplo: a . (1/a)  = 1, (1/a) . a  =  1

O valor inverso de um número a é a^-1 na forma de potência, ou ¹/_a na forma de fração, então o oposto de 7 é 7^-1 ou ¹/₇ e o oposto de ¹/₇ é 7, pois ¹/₍¹_/7) = 7.

Ao multiplicarmos um número pelo seu inverso, obtemos como produto o elemento neutro da multiplicação, isto é, o número 1:

5 _. 5^-1 = 1

7^-1 _. 7 = 1

¹/5 _. 5 = 1

70 _. ¹/₇₀ = 1

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