Limites e Continuidade

Limites e Continuidade
Conectamos o conceito de Continuidade de uma função em x = p, com o limite da função quando x tende a p (x→p).
Se você estiver com dificuldades no entendimento de limites, clique aqui e depois volte a este conteúdo.

Definição:
Seja uma função f e um dado ponto p em seu domínio.
Diz-se que a função f é contínua em p se:
lim f(x), quando x→p = f(p)

Neste caso, devem ocorrer três fatos:
1. A função está definida em x=p, ou seja, existe f(p);
2. Existe o limite da função quando x→p (x tende a p);
3. Os valores de f(p) e lim f(x), quando x→p devem ser iguais. 

Graficamente, podemos visualizar na figura acima que a função y = 1/x é contínua em todos os pontos do domínio x exceto no ponto zero, onde ela tende ao menos infinito, quando x se aproxima de zero pela esquerda e ao mais infinito, quando x se aproxima de zero pela direita.  
Veja abaixo, um exemplo e contraexemplo para melhor entendimento:

Explicando: 
Se você tiver dificuldade na fatoração de x²+x-6=(x-2)(x+3), revise o conteúdo em nível médio sobre fatoração, clicando aqui 
1. Podemos observar que f(2) =5;
2. Existe o limite f(x), quando x→2 que vale 5 (limites laterais são iguais a 5);
3. O limite de f(x), quando x→2 é igual ao valor de f(2) ou seja valem exatamente 5.
Portanto a função f é contínua em x=2.

Veja um contra-exemplo na tela abaixo:

Exercícios:
Verificar se as funções abaixo indicadas são contínuas nos pontos indicados:
1) f(x) = x²+3, no ponto x=2
a) lim f(x), quando x→2 = lim x²+3, quando x→2 = 2²+3 = 4+3=7 (os limites laterais são iguais pois temos que (-2)²=2²)
b) f(x) = x²+3 → f(2) = 2²+3 = 4+3=7
Como (a)=(b) = 7 → A função é contínua no ponto x=2.

2) g(x) = 1/x² no ponto x=0
a) lim g(x), quando x→0 = lim 1/x², quando x→0 = 1/0² =+¥(isso vale +infinito, pois os dois limites laterais são iguais) - Observe que o limite de 1 dividido por um número muito pequeno, tendo ao infinito, (ex. 1/0,001=10³... tendendo ao infinito, quanto mais se aproximamos de zero) 
b) g(0) = 1/0² (impossível)
Então, como não existe g(0), a função g(x) para x=0 não é contínua.

3) h(x) = x² se 0<x<1, ou h(x) = 2x-1 se x>=1, ou h(x) = -x se x<0
3.1) No ponto x=1
a) Pela esquerda →lim h(x), qdo.x→1(-)  = lim x², qdo.x=1(-)  = 1² = 1 
Pela direita →lim h(x), qdo. x→1(+) = lim 2x-1, qdo. x→1(+) = 2.1-1 =2-1=1
Como os dois limites laterais existem e valem 1 → lim h(x), qdo. x→1 = 1
b) h(1) = 2x-1 = 2.1-1 =2-1=1
Logo: lim h(x), qdo. x→1 = h(1). Então, a função h(x) é contínua no ponto x=1.  

3,2) No ponto x=0
a) Pela esquerda →lim h(x), qdo. x→0(-) = lim -x, quando x→0(-0) = -0 = 0 
Pela direita → lim h(x), qdo. x→0(+) = lim x², qdo.x→0(+) = 0² = 0
b) h(0) = ? (não está definida) - Olhe só temos x>0 e x<0.
Portanto, a função não é contínua em x=0

Atenção:

a) Para acessar como resolver certos tipos de limites, usando da Regra de L'Hospital, clique aqui ou;

b) Se quiser saber sobre conteúdos, como Limite, Derivada, etc. envolvendo o ensino superior, acesse nosso marcador chamado: Ensino Superior!

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