Limites

INICIAÇÃO A LIMITES

O desenvolvimento do cálculo foi estimulado por dois problemas geométricos: 
Achar as áreas de regiões planas;
Descobrir as retas tangentes à curva. 

Esses problemas requerem um “processo de limite” para a sua solução.

Entretanto, o processo de limites ocorre em muitas outras aplicações, sendo o alicerce sobre o qual todos os outros conceitos do cálculo estão baseados. 

Para iniciarmos o estudo de limites, analisemos os seguintes exemplos de sucessões numéricas:

Na sucessão (1), os termos tornam−se cada vez maiores sem atingir um limite e sempre tem um número maior que o anterior.

Dado um número real, por maior que seja, podemos sempre encontrar na sucessão um termo maior. Dizemos então que os termos desta sucessão tendem para o infinito ou que o limite da sucessão é infinito. 

Denota−se x →¥

Na sucessão (2) os termos crescem, mas não ilimitadamente. Os números se aproximam cada vez mais de 1, sem nunca atingirem este valor. 

Dizemos então que x → 1.

De maneira análoga na sucessão (3), os termos vão ficando cada vez menores, então denotamos que  x →-¥

Em (4), os termos da sucessão oscilam sem tender para um limite.

Em (5), os termos diminuem e dizemos que x →0.

Limite de uma função

O uso básico de limites é para descrever como uma função se comporta quando a variável independente x tende a um dado valor.

Por exemplo:

Verifiquemos o comportamento da função f(x) = 2x + 4 próximo ao ponto x = 1:

Aproximação pelo lado direito de x = 1 (ou x → 1+)

para x=2 →f(x)=2.2+4 →f(x)=8

para x=1,5→f(x)= 2.1,5+4 →f(x)=3+4=7

para x=1 → f(x) = 2x+4 →f(x)= 2.1+4 =2+4=6

... logo quando x se aproxima de 1+, f(x)→6

Aproximação pelo lado esquerdo de x = 1 (ou x → 1− )

para x=-2 →f(x)=2.-2+4 →f(x)=0

para x=0,5→f(x)=2.0,5+4 →f(x)=1+4=5

para x=1 → f(x) = 2x+4 →f(x)= 2.1+4 =2+4=6

... logo quando x se aproxima de 1-, f(x)→6
Definição de Limite.

Exercícios: (considere 00 = infinito)

Determine o limite das seguintes funções:

1)  f(x) = 4x, quando x → 2

=lim4x, quando x→2 = 4.2 =8

2)  lim (x²-6x+9) / (x-3), quando x → 3

=lim (x-3)(x-3) / (x-3) = lim x-3 = 3-3 =0  (observação: x-3/x-3 = 1) 

   x→3                           x→3

    

3) lim x³+7 =  x³+7  (observe que a variável é y)

   y→+00

4) lim x²-x, quando x→+00

lim x²-x, quando x→+00 = 00-00 (indefinição-não serve como resposta) 

ou lim x²(1-1/x) = 00²(1-0)=+00                                                                   

       x→00

(observe que 1/00 = 0 e 00²=+00)

5) lim 7A^9+2 / A^8+1 = 00/00 (indefinição-não serve como resposta)

     A→-00

=lim A^9(7+2 / A^9) / A^8(1+1/A^8), quando A →-00 = 7A/1 =7A = 7(-00) =-00

(observe que  2/A^9=0, 1/A^8=0)

6) lim 5x / (7x³+3)^1/3, quando x→-00

= lim x.5 / (x³.(7+3/x³))^1/3, quando x→-00

=lim x.5 / x.(7+3/x³)^1/3, quando x→-00

=5/7^1/3 

Atenção: 

a) Existem certos tipos de limites que podem ser resolvidos facilmente, usando uma das mais famosas regras do cálculo, chamada como: Regra de L'Hospital  que recomendamos que acesse e confira.

b) Para acessar nosso conteúdo não menos importante, chamado: Limites e Continuidade:  clique aqui

c) Caso queira estudar e se inteirar do tema: DERIVADAS clique aqui

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