Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum

Mínimo Múltiplo Comum

O mínimo múltiplo comum, notação: MMC, de dois ou mais números inteiros é o menor múltiplo inteiro positivo comum a todos eles.

Por exemplo, o MMC  de 6 e 8 é o 24.

6=2.3

8=2.2.2

Pegamos os fatores primos com o maior expoente e multiplicamos: 3.2³=3.8=24

Denotamos ele por MMC(6, 8)=24.  

Já o MMC de 5, 6 e 8 é o 120, o que é denotado por: MMC(5, 6, 8)=120.

O MMC é muito utilizado para fazemos operações como: adição ou subtração de frações, pois é necessário um mesmo denominador comum durante esses processos.

Sabemos que não é necessário que esse denominador comum seja o MMC, mas a sua escolha minimiza os cálculos.

No exemplo: 6/28 + 18/8=?

6/28+18/8 =12/56+126/56= 138/56=69/28, onde o denominador 56 foi usado porque 

MMC(28, 8) = 56.

28     8 14     4  7      2  7      1  1       1

2 2 2 7  1

MMC(28,8) = 2³.7.1 = 8.7.1= 56

Regra geral para calcular o MMC de dois ou mais números. 

O procedimento geral para o cálculo do MMC, envolve a decomposição primária de cada número.

Por exemplo, para calcular o MMC de 8, 12 e 28, fazemos o seguinte: 

1. Realizamos a decomposição primária de cada número:
8=2³

12=2³.3
28=2³∙7

2. Em seguida, multiplicamos cada fator primo elevado à maior potência com que aparece nas fatorações. O resultado é o MMC procurado:

MMC(8, 12, 28)=2³.3∙7=168


Dispositivo prático para calcular o MMC de dois ou mais números.

Forma prática de execução para achar o MMC:

1. Alinhamos os três números, 8, 12 e 28, e dividimos todos os números que podem ser divididos pelo primeiro primo 2. Na linha de baixo anotamos cada quociente obtido:

2. Repetimos esse procedimento sucessivamente com o 2, depois com o 3 e, depois com o 7, até que a última linha só contenha algarismos 1:

3. Agora, multiplicamos todos os fatores primos na coluna da direita, obtendo o MMC procurado:
MMC(8, 12, 28)=2∙2∙2∙3∙7=168

8                12                   28 4                 6                    14 2                 3                     7 1                 3                     7 1                 1                     7 1                 1                     1

2 2 2 3  7 1

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DO M.M.C. 

Todo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros é múltiplo do MMC destes números.
Exemplo: 

Os múltiplos comuns positivos de 8, 12 e 28 são exatamente os múltiplos positivos de 168, ou o seu MMC, ou seja, são: 168, 336, 504.

Exemplo:

Encontre o menor número inteiro positivo de três algarismos que é divisível, ao mesmo tempo, por: 3 ,4 e 15.Solução: Pela propriedade fundamental do MMC, o número desejado será o menor número de três algarismos múltiplo do MMC de 3, 4 e 15.

Como MMC(3, 4, 15)=60, então o menor múltiplo de três algarismos é o 120.

3               4                  15 3               2                  15 3               1                  15  1               1                    5 1               1                    1

2 2 3 5 1

Então:

MMC(3,4,15)= 2.2.3.5=60

MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

O máximo divisor comum, ou MDC de dois ou mais números inteiros é o maior divisor inteiro comum a todos eles.

Por exemplo:

O MDC de 16 e 36 é o 4, e denotamos isso por MDC(16,36)=8. 

Já o MDC de 30, 54 e 72 é o 6, o que é denotado por MDC(30, 54, 72)=6.

Regra geral para calcular o MDC de dois ou mais números. 

O procedimento geral para o cálculo do MDC, como no caso do MMC, envolve a decomposição primária de cada número.

Por exemplo, para calcular o m.d.c. de 30, 54 e 72, fazemos o seguinte: 

1. Realizamos a decomposição primária de cada número:
30=2∙3∙5
36=2².∙3²
72=2³∙3²

2. Em seguida, multiplicamos os fatores primos comuns elevados à menor potência com que cada um aparece nas fatorações.

O resultado é o MDC procurado:
MDC(30, 36, 72)=2∙3=6


Dispositivo prático para calcular o MDC de dois ou mais números. 

O procedimento acima tem a seguinte forma prática de execução:

1. Alinhamos os três números, 30, 36 e 72, e dividimos todos os números que podem ser divididos pelo primeiro primo 2. Na linha de baixo anotamos cada quociente obtido:

2. Repetimos esse procedimento com o próximo primo que divida os três quocientes e, assim, sucessivamente, até que não hajam mais primos comuns:

30          36              72 15          18              36  5            6               12

2 3

3. Agora, multiplicamos todos os fatores primos na coluna da direita, obtendo o MDC procurado: mdc(30, 36, 72)=2∙3=6


ALGORITMO DE EUCLIDES

USADO PARA O CÁLCULO DO M.D.C. DE DOIS NÚMEROS.

Para o cálculo do MDC de dois números, existe um dispositivo extremamente rápido, prático e econômico.

É o algoritmo de Euclides, que descrevemos abaixo:

Exemplo: Calcular o MDC de 305 e 360:

1. Dividimos o maior número, 360, pelo menor, 305, obtendo resto 55, posicionando o resto abaixo do divisor: 360 305 55

2. Em seguida, transportamos o resto 55 para o lado direito de 305 e dividimos o 305 por 55, posicionando o novo resto abaixo do 55:

3. Repetimos esse procedimento, transportando o novo resto 30 para o lado direito de 55 e dividimos o 55 por 30, posicionando o novo resto abaixo do 30. E continuamos assim, sucessivamente, até obter o primeiro resto 0:

4. O penúltimo resto obtido, ou seja, o resto anterior ao primeiro resto 0, é o MDC dos dois números iniciais: 

MDC(305, 360) =5 (resto anterior ao 0=5).

Veja em esquema o método tratado acima:

Números primos entre si ou primos relativos. 

Dois números inteiros são ditos primos entre si, ou primos relativos, se o MDC entre eles é 1. É o caso de:

a) 10 e 21. Como MDC (10, 21) = 1, então 10 e 21 são primos entre si.

b) 13 e 5 pois o MDC(13,5)=1

c) 8 e 15, pois o MDC(8,15) =1

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DO M.D.C. 

Todo divisor comum de dois ou mais números inteiros é divisor do MDC destes números.

Exemplo: 3 é divisor comum de 30, 36 e 72. Observe que 3 também é divisor de 6, que é o MDC destes três números.

EXERCÍCIOS USANDO O  MMC E O MDC

1. (UEL) Três ciclistas percorrem um circuito saindo todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o segundo em 36 s e o terceiro em 30 s.  Com base nessas informações, depois de quanto tempo os três ciclistas se reencontrarão novamente no ponto de partida, pela primeira vez, e quantas voltas terá dado o primeiro, o segundo e o terceiro ciclistas, respectivamente?

(A) 5 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 13 voltas.
(B) 6 minutos, 9 voltas, 10 voltas e 12 voltas.
(C) 7 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 12 voltas.
(D) 8 minutos, 8 voltas, 9 voltas e 10 voltas.
(E) 9 minutos, 9 voltas, 11 voltas e 12 voltas.

Solução

O MMC(30, 36, 40) = 360 s=6min é o menor tempo em que os três se encontrarão novamente no ponto de partida.

Por eliminação, já podemos marcar a letra B.

Mas, como encontrar o número de voltas de casa ciclista, basta dividir o tempo de 360 segundos pelo período de uma volta de cada um deles:

1o ciclista = 360/40=9 voltas;

2o ciclista = 360/36=10 voltas;

3o ciclista =360/30=12 voltas
Resposta: letra B.

2. (PUC) “A Dengue é uma doença causada por um vírus, transmitida de uma pessoa doente para uma pessoa sadia por meio de um mosquito: o Aedes aegypti. Ela se manifesta de maneira súbita: com febre alta, dor atrás dos olhos e dores nas costas  e, como não existem vacinas específicas para o seu tratamento, a forma de prevenção é a única arma para combater a doença.”

Assim sendo, suponha que 450 mulheres e 575 homens inscreveram-se como voluntários para percorrer alguns bairros do ABC paulista, a fim de orientar a população sobre os procedimentos a serem usados no combate à Dengue. Para tal, todas as 1.025 pessoas inscritas serão divididas em grupos, segundo o seguinte critério: todos os grupos deverão ter a mesma quantidade de pessoas e em cada grupo só haverá pessoas de um mesmo sexo. Nessas condições, se grupos distintos deverão visitar bairros distintos, o menor número de bairros a serem visitados é:

(A)25
(B)29
(C)37
(D)41
(E)45

Solução

Quanto maior o número de pessoas em cada grupo, menor será o número total de grupos e, portanto, menor será o número de bairros visitados. Então, o número máximo de pessoas por grupo será o MDC entre o número de homens e o número de mulheres, ou seja, MDC(450,575) = 25 pessoas por grupo.

O número total de grupos será o número total de bairros visitados. Como temos 450/25=18 grupos de mulheres e 575/25=23 grupos de homens, teremos um total de 18+23=41 grupos e, portanto, 41 bairros visitados.
Resposta: letra D.

03) Três navios fazem viagens entre dois portos. O primeiro a cada 4 dias, o segundo a cada 6 dias e o terceiro a cada 9 dias. Se esses navios partirem juntos, depois de quantos dias voltarão a sair juntos, novamente?
Basta calcular o MMC(4,6,9)
4=2,2
6=2,3
9=3,3
MMC(4,6,9)=2².3²=4.9 = 36 voltas

04) Alguns cometas passam pela terra periodicamente. O cometa A visita a terra de 12 em 12 anos e o B, de 32 em 32 anos. Em 1910, os dois cometas passaram por aqui. Em que ano os dois cometas passarão juntos pelo planeta novamente? 

Basta calcular o MMC(12,32)

12=2.2.3

32=2.2.2.2.2

MMC(12,32)=2^5.3=32.3=96 anos

Como ele se encontraram em 1910, somamos 96 →1910+96 = 2006

05) Três viajantes partem num mesmo dia de uma cidade A. Cada um desses três viajantes retorna à cidade A exatamente a cada 30, 48 e 72 dias, respectivamente. O número mínimo de dias transcorridos para que os três viajantes estejam juntos novamente na cidade A é:

Achando o MMC(30,48,72) 

30=2,3,5

48=2,2,2,2.3

72=2.2.2.3.3

→MMC(30,48,72)= 2^4.3².5 = 16.9.5=720 dias

Se você não entendeu ainda fatoração, veja nosso post: Raiz Quadrada por Fatoração.

Bons Estudos!

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