Sequências e Progressão Aritmética

Conjuntos

Um conjunto é uma coleção de elementos. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto, dizemos que x pertence a esse conjunto.

Noções preliminares

Considere os seguintes conjuntos:
A= {Alguns dos planetas do sistema solar}

Exemplo:
Terra €A → (O planeta Terra pertence ao conjunto A)






B= {Conjuntos dos números ímpares maiores que 1}

Exemplo:
3€B, 29€B →(Os números 3 e 29 pertencem ao conjunto B)





Também, podemos representar esses conjuntos, ordenando os seus elementos, ou seja:
A= {Mercúrio,Terra, Marte, Júpter, Saturno}
Observação: O sistema solar possui 9 planetas na seguinte ordem: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Netuno e Plutão.


SEQUÊNCIAS
Seja B a seguinte sequência de números:
B= {3,5,7,9,11,13,...}
Em Linguagem matemática, podemos escrever a sequência B assim: B= {n/nЄN e n= 2n+1, com n>1}

Uma sequência pode ser finita (A) ou infinita (B)

De maneira genérica, representamos os termos da forma abaixo:

(a1, a2, a3, ..., an), onde a1= 1º termo, a2= 2º termo, a3= 3º termo, ..., an= n-ésimo termo ou um termo qualquer.

Assim, na sequência (3,6,9,12,...) temos:
a1=3, a2=6, a3=9, a4=12, ...

Na matemática, o que nos interessa são os termos que são números reais e obedecem a uma lei de formação, ou seja, um critério que nos permita achar de modo inequívoco qualquer termo dessa sequência. 

Exemplos:
1. Sequência dos números pares maiores que 4.
(4,6,8,10,...)

2. Sequência dos números reais que obedecem à expressão: an= 2+ 3n, com n€N*(n é número natural exceto o zero):

=(2+3.1, 2+3.2, 2+3.3, ...)=(5,8,11,...)

EXERCÍCIOS

Determine os quatro primeiros termos de cada sequência nos seguintes casos, sendo n€N*(n é número natural exceto o zero):

a) an= 1+n  → (1+1, 1+2, 1+3, 1+4 ) = (2,3,4,5)

b) an= 3n -2 → (3.1-2, 3.2-2, 3.3-2, 3.4-2 ) = (1,4,7,10)

c) an= n²/2   → (1²/2, 2²/2, 3²/2, 4²/2) =(1/2, 2, 9/2, 8)

d) an= n+3 /2n  → (1+3 /2.1, 2+3 /2.2, 3+3 / 2.3, 4+3 /2.4 ) = (2, 5/4, 1, 7/8)

PROGRESSÃO ARITMÉTICAS (PA)

Progressão aritmética ou simplesmente PA é uma sequência de números reais, onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior mais uma constante real chamada razão da PA.

Exemplos:
1. Sendo a1 = 1 e a razão r=2, então:
PA = (1, 1+2, 3+2, 5+2, 7+2, ...)= (1,3,5,7,9, ...)

2. Sabendo-se que a1= 7 e r=-4, então:
PA = (7, 7-4, 3-4, -1-4, -5-4, ... ) = (7, 3, -1, -5, -9, ...)

RAZÃO DE UMA PA

Determinamos a razão da PA, efetuando a diferença entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o seu termo anterior.

Exemplos:

Determine a razão das PAs abaixo:

1. (1,4,7,10,13):
razão r= 4-1=3 ou 7-4=3, etc...

2. (8 ,5 ,2, -1,-4):
razão r= 5-8 =-3, ou 2-5=-3, ou -1-2 =-3, ...

3. (1, 4/3, 5/3, ...):
razão r= 4/3 -1=1/3, 5/3-4/3=1/3 ...

FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.A.

Pela definição de PA, temos:
a2=a1+r
a3=a2+r = a1+r+r = a1+2r
a4 =a3+r = a1+2r+r = a1+3r
a5 =a4+r = a1+3r+r = a1+4r

...

e, de modo genérico: an=a1+(n-1)r 
onde n é o número de termos da PA e r é a sua razão. 

Exemplos:

1. Calcule o décimo termo da PA (3,7,11, ...).
a10=?

Temos: a1=3, n=10, razão r=7-3=4
Então: Note que: an=a1+(n-1)r → a10= 3+(10-1)4 -->a10= 3+9.4 = 3+36 →a10=39

2. Ache o primeiro termo de uma PA onde a8=35 e r=3.

Use a fórmula: an=a1+(n-1)r 
a1=?                 a8=a1+(8-1)3
35 = a1+7.3 → 35=a1+21 →35-21 =a1 →a1=14

3. Numa PA, o primeiro e o último termos são respectivamente, 15 e 223 e a razão é 8.  Quantos termos tem essa PA?

São dados: a1=15 e an=223, r=8, n=?
Pela fórmula: an=a1+(n-1)r, temos que: 223=15+(n-1)8 
223-15=8n-8 » 208+8=8n » 216=8n » n= 216/8 » n= 27

4. Calcule o sétimo termo da PA (1,6,11, ...).

Aplicando a fórmula: an=a1+(n-1)r, temos:
a7= 1+(7-1)(6-1) » a7= 1+6.5 »a7= 1+30 »a7=31                  

5. Numa PA que tenha 20 termos, sendo a1=5 e razão 4, qual o último termo da PA?

Pela fórmula: an=a1+(n-1)r, temos que: 
a20=5+(20-1).4 » a20= 5+19.4 »a20= 5+76 » a20=81