Fração Geratriz

Aprendendo a achar a fração geratriz de uma dizima periódica.

 Uma fração geratriz é aquela que dá origem a uma dízima periódica.


Vamos dar algumas dicas logo abaixo sobre como achar as frações geratrizes de dízimas periódicas simples e compostas, de uma forma bem prática.


Dízimas periódicas simples
São  aquelas em que apenas um número ou um conjunto de números se repetem.

 Para achar a fração geratriz, colocamos o período no numerador da fração e, para cada algarismo dele, coloca-se um algarismo 9 no denominador.
Exemplos:
a) 0,888... Período: 8 (apenas 1 algarismo se repete)
0,888...= 8/9

b) 0,212121... Período 21(2 algarismos que se repetem)
0,212121... = 21/99

c) 0,819819819... Período 819(3 algarismos se repetem)
0,819819819...= 819/999

d) 1,555...
Agora, temos uma dízima simples (0,555...), somado com a parte inteira (1) diferente de zero.

Uma estratégia eficiente é separar parte inteira da parte decimal:
1,555... = 1 + 5/9 = 14/9


e) 1,333...

1,333... = 1+3/9 = 12/9

Dízimas periódicas compostas
São aquelas em que mais de um número ou um conjunto de números se repetem.
a) 0,27777...
A dica agora é um pouco diferente: para cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9 no denominador.
Mas, agora, para cada algarismo do antiperíodo se coloca um algarismo zero, também no denominador. 


No caso do numerador, faz-se a seguinte conta: 
(parte inteira com antiperíodo e período) menos(-) (parte inteira com antiperíodo)
Assim, teremos:

 b) 1,7444...

1,7444... = 174-17 /90 =157/90  


c) 31,408888... (o período tem 1 algarismo (8) e o antiperíodo tem 2 algarismos(40))

31,40888... = 31408-3140 / 900 = 28268 / 900 simplificando(÷2)=14134/450


d) 5,4732121212... (o período tem 2 algarismos que repetem(21) e o antiperíodo tem 3 algarismos(473))

5,473212121...= 547321 – 5473 / 9900 = 541848/99000

Outro Modo de achar a fração geratriz

Chamamos a fração geratriz de x:

Exemplos:
1) Achar a fração geratriz de 0,444...
Seja x= 0,444...
Multiplica-se ambos lados da igualdade por 10(um número se repete)
Então: x.10 = 4,444....
→10x = 4,444...
Agora fazemos: 10x-x = 4,444...- 0,444
9x=4  →x=4/9

2) Achar a fração geratriz de 0,323232...
Seja x= 0,323232...
Multiplica-se ambos lados da igualdade por 100(dois números se repetem)
Então: x.100 = 32,323232....
→100x =32,323232...
Agora fazemos: 100x-x = 32,323232... – 0,323232...
99x=32 →x=32/99

3) Achar a fração geratriz de 1,646464...
Seja x= 1,646464...
Multiplica-se ambos lados da igualdade por 10
Então: x.10 = 16,464646...
→10x = 16,464646...
Agora fazemos: 10x-x = 16,464646...- 1,646464...(como não dá raiz exata, vamos multiplicar novamente por 10), então:
10x.10 = 16,464646...(10) → 100x= 164,646464...
Fazendo 100x-x = 164,646464... – 1,646464... →99x= 163 →x=163/99
(Uma dica é como temos dois números que se repetem pode-se multiplicar x por 100 direto)

4) Achar a fração geratriz de 1,6444...
Seja x= 1,6444...
Multiplica-se ambos lados da igualdade por 10
Então: x.10 = 16,444....
→10x =16,444...
Agora fazemos: 10x-x = 16,444...- 1,6444 (não temos raiz exata)
Multipliquemos novamente por 10, então:
10x.10 = 16,444...(10) →100x = 164,444...
Fazemos agora 100x-10x, porque temos que eliminar a parte da dízima periódica: 100x-10x = 164,444... – 16,444 ...= 148 →90x=148 →x=148/90

Assim, cria-se uma equação e elimina-se a parte infinita dos números envolvidos, achando-se a fração geratriz.

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Resolução passo a passo do Teste de Lógica Matemática






Teste 1: Considerando-se que:

Se
2 + 3 = 10;
e: 7 + 2 = 63;
e: 6 + 5 = 66;
e: 8 + 4 = 96,
e: 9 + 10 = 171
Então:
9 + 7 = ????
...
Resposta : 144

Saiba porque 144 ?????
Vejamos
2 + 3 = 5 x 2 = 10;
7 + 2 = 9 x 7 = 63;
6 + 5 = 11 x 6 = 66;
8 + 4 = 12 x 8 = 96,
9 + 10 = 19 x 9 = 171
Então:
→9 + 7 = 16 x 9 = 144

Teste 2: Considere que:
Se: 
2 + 3 = 18;
7 + 2 = 28;
6 + 5 = 150;
8 + 4 = 128
Então:
9+5 = ????
...
Resposta: 225
Como se resolve:
2.3 =6.3 =18
7.2=14.2=28
6.5=30.5=150
8.4=32.4=128
Então:
→ 9.5=45.5=225 

Teste 3: Considerando que:
2 + 3 = 15
7 + 2 = 18
6 + 5 = 55
8 + 4 = 48
Então: 
9 + 7 = ????
...
Resposta: 112
Como se resolve:
2+3=5.3=15
7+2=9.2=18
6+5=11.5=55
8+4=12.4=48
Então:
→... 9+7=16.7=112
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A Matemática Aqui é Simples e Descomplicada!







Sou o Professor Luiz Carlos Vivan, lecionei por vários anos a disciplina Matemática em várias escolas de ensino médio particulares e públicas do estado de São Paulo, autor dos artigos do Blog Recordando Matemática, sou especialista em Educação Matemática e também atuei no ramo bancário por 34 anos nas mais variadas funções administrativas e gerenciais. Nossa missão primordial com esse site educativo é divulgar e incentivar o estudo e o aprendizado dessa importante disciplina escolar. Aproveito para pedir que compartilhe e divulgue nossos artigos aos seu pares e amigos. Desde já agradecemos pela confiança e apoio.

Comentários

  1. Anônimo26 de junho de 2014 às 16:38

    Bastante interessante e muito bem explicado!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Luiz Carlos Vivan26 de junho de 2014 às 17:20

      Olá meu amigo Alex, muito obrigado pela visita ao nosso modesto blog.
      Muito Obrigado pelos elogios, isso só vem a fortalecer nosso trabalho.
      Abraços!

      Excluir

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