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sexta-feira, 4 de julho de 2014

A Astronomia e a Matemática

O QUE A MATEMÁTICA E A ASTRONOMIA TÊM EM COMUM?

Os primeiros estudos realizados da Matemática na astronomia nos levam ao grande estudioso alemão Johannes Kepler (1571 – 1630), brilhante astrônomo, astrólogo e matemático, que baseado na teoria heliocêntrica de  Nicolau Copérnico, comprovou que os planetas giram em torno do sol descrevendo uma forma elíptica, cuja excentricidade foi calculada através da seguinte expressão:
e= 2c/2a = c/a, onde:  a: Semi-eixo maior da órbita, c: Distância de qualquer foco até o centro da cônica, e: Excentricidade.
A astronomia se desenvolveu rapidamente com o apoio da Matemática e todo esse progresso fez com que uma das perguntas mais enigmáticas da história da humanidade ganhasse mais força, afinal de contas estamos sozinhos no universo? Essa pergunta, segundo muito cientistas está muito próxima de ser respondida de maneira afirmativa.  Hoje, os grandes telescópios são os nossos olhos em busca de planetas e outras estrelas, luas, galáxias, buracos negros, etc. que de alguma maneira tenham ou já tiveram particularidades, como: clima ameno, água, oxigênio, entre outros gases, que poderiam ou possam abrigar a vida como a que temos aqui na Terra.


Planetas fora do Sistema Solar
Sabemos que os cientistas e os astrônomos vêm se concentrando  em estudos, pesquisas e descobrimento de planetas ou estrelas que sejam parecidos com a Terra e com o nosso sistema solar e que, possam abrigar a vida de alguma forma, ou ainda, que estejam localizados em zona habitável no espaço.  Alguns dos primeiros planetas localizados fora da nossa galáxia, foram descobertos em 1992. Agora, em meados do ano 2012, a missão Kepler da Nasa identificou mais 2.321 candidatos a novos planetas e que estão fora de nosso sistema Solar.
No mês de maio de 2012, a lista desses planetas já acumulava 770 deles já confirmados naquela época. Essa lista incluia 614 planetas em sistemas planetários e mais 104 planetas em sistemas planetários múltiplos. Sabemos que os números ainda são baixos, mas isso só mostra que estamos avançando no conhecimento do Universo.

Primeiro planeta gêmeo da Terra localizado em zona habitável
A Agência Espacial Americana confirmou a descoberta no mês de dezembro de 2011, do primeiro planeta localizado na zona habitável de uma estrela parecida com o Sol. O planeta foi batizado por Kepler-22b e tem cerca de 2,5 vezes o tamanho do raio da Terra. Os astrônomos estão incertos quanto à composição do planeta, mas a descoberta foi um passo a mais na busca por um planeta gêmeo da Terra.   

Porque usamos a Geometria nos cálculos de distâncias interestelares?

A Matemática sempre esteve ligada com a Astronomia e muito do que sabemos sobre elas, ainda hoje se envolve em muito mistério e vem sendo alvo de muitas pesquisas cientificas.  Para sabermos a distância que separam nossa Terra de outras estrelas longínquas, ou mesmo planetas distantes, temos que estudar muito a geometria e isso envolve também a trigonometria. Mesmo assim, os cálculos são aproximados devido às grandes distâncias que nos separam de outras estrelas ou ditos corpos celestes.  Aqui em nosso modesto Blog você vai encontrar um estudo básico inicial sobre a Geometria no Espaço, cujo conteúdo recomendamos veementemente acessar e se inteirar.








Unidade Astronômica - UA

A unidade de medida que usamos envolve a sigla TS, ou seja, distância da Terra ao Sol que já sabemos é da ordem de 150 milhões de quilômetros que equivale a uma unidade astronômica (UA).

Outra unidade que é muito usada na medição da distância entre as estrelas, é chamada de Parsec.  Mas, para o entendimento de quanto ela vale, veremos alguns detalhes de seu cálculo:

ÂNGULO DE PARALAXE

É usado como referencial para uso em distância interestelares a unidade PARSEC, que corresponde a um ângulo de paralaxe de 1 segundo(1'') ou 1/60 do minuto, ou seja 1/3600 do grau


Qual é o ângulo de paralaxe? Se olharmos um ponto fixo de uma certa distância da terra e mudarmos de posição como na figura ao lado, vemos que ela forma um ângulo ß chamado ângulo de paralaxe.
    Analogamente, quando observamos o Sol a partir de um ponto qualquer da terra, teremos uma visão diferente da que teríamos, se estivéssemos no centro de nosso planeta.  Ai também temos o mesmo ângulo de paralaxe como na figura acima, imaginando que O1 seja um ponto na superfície de nosso planeta e O2 seja o centro da terra.

    O ângulo de paralaxe é muito utilizado em trabalhos científicos de Astronomia e serve para o cálculo de distâncias entre os corpos celestes.  A ideia básica é a seguinte:
    • As observações astronômicas são feitas tendo o SOL com referência.  Ao se observar uma estrela E vista da terra T e do sol S, haverá uma diferença angular (paralaxe) entre as duas observações.
    • Quanto maior for o efeito de paralaxe, mais próxima estará a estrela e, quanto menor o ângulo de paralaxe, mais distante ela (corpo celeste) estará. 
    • A unidade PARSEC corresponde a um ângulo de paralaxe ß de 1 segundo ou 1/60 do minuto, ou seja 1/3600 do grau, quando tivermos a distância Terra e Sol de 150 milhões de Km(1 UA).
    Veja um esquema com uma estrela fictícia E, que está distante da Terra 1 parsec:






    Sabemos que o triângulo TSE é retângulo, então vale que a tangente de ß é TS/SE, ou seja:
    Então, tg ß = 150 milhões de km / SE → como ß vale 1 segundo e isso na calculadora é: 0,000004848, então: SE = 150.10^6 / 0,000004848 que é aproximadamente 3,09.10^13 Km ou 1 parsec.

    Exercícios:

    1. Quanto em unidade parsec é a distância entre a Terra e a estrela Alfa Centauri, sabendo-se que ela apresenta um ângulo de paralaxe de 0,75 segundos?
    Como temos que o ângulo é menor que 1 segundo, então podemos deduzir que a distância é maior que 1 parsec. 
    Na calculadora temos que: tg 0,75 segundos vale: 0,000003636
    Logo:
    SE = 150.10^6 / 0,000003636 que equivale aproximadamente a 4,13.10^13 Km ou 1,34 parsec

    2.  Se uma estrela está a 10 parsec do SOL, o ângulo de paralaxe é maior ou menor que 1 segundo?
    Pela definição de unidade parsec, quanto menor o ângulo de paralaxe, maior a distância entre o sol e a estrela e vice´versa, então: Como a distância é grande o ângulo, nesse caso, deve ser 10 vezes menor que 1 segundo ou seja 0,1 segundo. 

    3. Uma unidade muito utilizada também para medir grandes distâncias é o ano-luz, que vale a distância percorrida pela luz em um ano.  A quantos anos-luz corresponde 1 parsec, sabendo-se que a velocidade da luz no vácuo vale 300.000 Km/s?
    1 ano-luz = 365.24.60.60.300000 = 9,46.10^12 Km
    Como 1 parsec = 3,09.10^13 Km
    Então: 1 ano-luz = 3,09.10^13 / 9,46.10^12 = 0,3266.10 = 3,266 anos-luz

    4. Uma estrela vista da Terra apresenta um ângulo de paralaxe de 0,5''. Calcule a distância entre ela e o sol  em unidade astronômica UA (distância entre o Sol e a Terra)?








    Neste caso, TS = 1 UA, queremos saber SE=?

    Aplicando a tangente, temos: tgE = TS/SE
    Logo, tg 0,5'' = 1 UA/ SE
    Na calculadora, tg 0,5'' = 0,000002424 
    → SE= 1 UA/ 0,000002424 = 412541 UAs
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    Veja a solução passo a passo da postagem: Desafios Matemáticos 


    1)  A subida da lesma no poço
    Uma lesma está no fundo de um poço que tem 13 metros de profundidade, e quer sair dele. Como a lesma faz o seguinte movimento, subindo 4 metros durante o dia, e descendo três metros durante a noite.
    Pergunta-se: Em quantos dias ela conseguirá sair desse poço?

    Solução:
    Em 10 dias ela conseguirá sair do poço.

    Veja como:
    Subindo 4 metros por dia e descendo 3 metros à noite.
    No nono dia, já terá subido 9 metros.
    Um dia depois, no décimo  dia, subindo mais 4 metros, ela chegará à boca do poço (13 m) e não terá porquê
    continuar descendo
    .



    2) Onde está o filho agora?

    Uma mãe tem 21 anos a mais que seu filho. Daqui há 6 anos a mãe terá uma idade 5 vezes maior que ele.
    Pergunta: Onde está o pai agora?  Onde está o filho agora?

    Solução:
    Analisando a situação de Hoje:
    Adotamos a idade da mãe = Y anos.

    Adotamos a idade do menino = X anos.
    Portanto, como a mãe é 21 anos mais velha, logo: Y = X + 21 (I)

    Daqui há 6 anos, eles terão em anos: ( Y + 6 ) e ( X + 6 )

    Ainda, após 6 anos a mãe terá idade 5 vezes maior que a do filho, ou seja: Y + 6 = 5 ( X + 6 )

    Resolvendo a equação, temos: Y + 6 = 5 X + 30

    Y = 5X + 24 (II)

    Substituindo I em II, ou seja: o valor acima de Y na primeira equação: (Y = X+ 21), teremos: 5X + 24 = X + 21

    5X - 1X = 21 - 24

    Logo: 4X = -3

    X = - 3/4

    O menino tem hoje -3/4 anos, ou seja, - 9 meses (menos nove meses!!!!!!!!!).

    Resposta: Neste exato momento os pais estão estabelecendo uma boa estratégia para fazer o filho (ou bebê)...


    3) Diga quantos pés existem dentro da Van estacionada e sem motorista?

    Há uma van com 7 garotas.
    Cada garota tem 7 sacolas.
    Dentro de cada sacola há sete gatos grandes.
    Cada gato grande tem 7 gatos pequenos.
    Todos os gatos têm 4 pés cada um.
    Pergunta: Quantos pés há na van?

    Solução: É só contar...
    7 garotas = 7 x 2 =14 pés
    sacolas = 7 x 7 = 49 = 0 pés
    gatos grandes = 49 x 7 = 343 →343 x 4 (cada gato) = 1372 pés
    gatos pequenos= 343 x 7 = 2401 →2401 x 4(gatinhos) = 9604 pés
    total de pés =14 + 0 + 1372 + 9604 = 10990 pés
    Portanto, dentro desta van existem 10990 pés no total. 


    4) Quantos ovos por anos um grande fazendeiro poderia obter?

    Sabendo-se que a média anual de ovos postos pelas aves nos USA são na proporção de 50.000 ovos. O Sr. Antony, um grande agricultor do interior daquele país decidiu incrementar a produção na sua fazenda comprando quarenta patos. Quantos ovos, de acordo com as estatísticas, ele teria comercializado ao final de um ano?
    Resposta: Zero ovos!
    (Patos não botam ovos e sim as patas)

    Para Voltar a postagem: Desafios Matemáticos, clique na figura ao lado.



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