Equações Paramétricas

Considerações Iniciais:

Todas retas podem ser equacionadas das seguintes formas: forma geral, reduzida e paramétrica. 
Equações paramétricas são equações que representam uma mesma reta por meio de uma incógnita em comum (parâmetro). Essa variável comum, que é chamada de parâmetro, faz a ligação entre as duas equações. 

Elas são obtidas através das equações que dão as coordenadas (x, y) de um ponto da reta em função de uma terceira variável t que é o parâmetro dado.  

x = f1(t) e y = f2(t)

Toda reta pode ser representada num plano cartesiano, basta que conheçamos dois de seus pontos ou que tenhamos a sua equação. 
Para escrevermos a equação geral da reta, a partir de suas equações paramétricas, basta isolarmos o parâmetro t em cada uma das equações dadas e igualarmos as expressões obtidas.

Exemplo:

Dadas as equações x = 2t-1 e y = t+3, obter a equação geral desta reta.

Solução: 

Isolando o t nas duas equações dadas:

x = 2t-1 →2t = x+1 →t = x+1 /2 (i)

y = t+3 →t = y-3 (ii)

Fazendo (i)=(ii) → x+1 /2 = y-3 →x+1 = 2y -6 →x-2y =-7 ou x-2y+7 = 0 Então:  x-2y+7 = 0 é a Equação Geral da Reta.

Exercícios

1) Escreva a equação geral da reta, cujas equações paramétricas são:

a) {x=2t+3 e y=2t-4}

Isolando a variável t nas duas equações dadas:

De x=2t+3 →2t = x-3 →t = x-3 /2 (i)

De y=2t-4 →2t=y+4 →t= y+4 /2 (ii)

Fazendo (i) = (ii) → x-3 /2 = y+4 /2 →x-3 = y+4 →x-y-3-4= 0 →x-y-7=0

Então: x-y-7=0 é a equação geral da reta.

b) {x=t/2 e y=t+1}

Isolando a variável t nas duas equações dadas:

De x=t/2 →t = 2x (i)

De y=t+1 →t=y-1 (ii)

Fazendo (i) = (ii) → 2x = y-1 →2x-y+1=0

Então: 2x-y+1=0 é a equação geral da reta.

c) {x=3t-1 e y= 2t+5}

Isolando a variável t nas duas equações dadas:

De x=3t-1 →3t =x+1 →t= x+1 / 3 (i)

De y = 2t+5 →2t = y-5 →t= y-5 / 2 (ii)

Fazendo (i) = (ii) → x+1 / 3 = y-5 / 2 →(multipl.em cruz) fica: 2x+2 = 3y -15 →2x-3y+2+15 =0 →2x-3y+17 =0

Então: 2x-3y+17 =0 é a equação geral da reta.

2) Determine a intersecção das retas r e s dadas por suas equações paramétricas: r {x=t+1 e y = t-1}  e  s {x=2t e y=t-2}

Achemos a equação geral das duas retas:

a) reta r →de x=t+1→ t= x-1 e de y = t-1→  t=y+1

isolando o t temos: x-1 = y+1 →x-y-2 =0 (equação geral da reta r)

b) reta s →de x=2t →t= x/2 e de y=t-2 →t=y+2 

isolando o t temos: x/2 = y+2 →x=2y+4 →x-2y-4=0 (equação geral da reta s)

c) Fazendo a intersecção das retas r e s temos: x-y-2 = x-2y-4 →-y-2=-2y-4 →-y+2y-2+4=0 →y+2 =0 →y=-2

Substituindo y=-2 na reta r temos: x-y-2 =0 →x-(-2)-2 =0 →x+2-2=0 →x=0

Logo a intersecção é o ponto (x, y) = (0, -2)