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terça-feira, 29 de julho de 2014

O Paradoxo de Zênon

Saiba Porque o Velocista Aquiles nunca Alcançaria uma Tartaruga!

Este paradoxo que ficou conhecido como Paradoxo de Zênon, e que  foi proposto por Zênon de Eléia, considerado no mundo científico como um filósofo pré-socrático da escola eleática. Nascido em Eleia, atualmente Vélia, na Itália, Zênon de Eléia gostava de divulgar seus pensamentos filosóficos através de paradoxos, os quais ficaram por muitos anos sem solução, como foi verificado com este que estamos discutindo aqui.  Os pensadores Pré-Socráticos foram  os primeiros Filósofos gregos que viveram entre os séculos VII a V a.C. e habitaram a cidade de Atenas, antes dos sofistas e também antecedendo a Sócrates. Zênon era discípulo de Parmênides de Eleia, e defendia de modo apaixonado a filosofia do seu mestre, do qual herdou o seu sobrenome. Seu método de comunicação e a sua filosofia, incluindo as críticas e as discordâncias, consistiam na elaboração de muitas aporias. Ele não pretendia confrontar-se diretamente das teses de outros pensadores que divergia, mas sim mostrar os absurdos delas e, portanto, provar a sua falsidade.  Segundo a história, ele teria criado cerca de quarenta destes paradoxos ou aporias, todos contra a multiplicidade, a divisibilidade, entre outros.  O mais famoso de todos foi esse paradoxo de movimento, que recebeu o nome de Paradoxo de Zênon e que ficou por longo tempo sem sua solução.

Zênon afirmava que, para ir de um ponto a outro, primeiro você tem de percorrer metade do caminho. Para percorrer a outra metade do caminho, primeiro você deve percorrer metade da distância restante, ou seja, mais um quarto do caminho. Para percorrer o resto do caminho, você deve percorrer metade da distância restante, ou seja mais um oitavo do caminho. E assim por diante, dividindo os caminhos restantes até o infinito. Em outras palavras, por mais que você esteja perto do segundo ponto, você ainda tem que vencer metade da distância que falta e você ficará nessa situação, sempre. Portanto, concluía Zênon triunfantemente, o movimento é impossível, já que nunca se pode chegar onde se está indo, mesmo que seja um palmo adiante.

A Corrida entre o Velocista Aquiles e a Tartaruga


Outra versão deste paradoxo, talvez a mais familiar, é a da corrida entre Aquiles e uma tartaruga, que tem resultado parecido com a corrida da lebre e da tartaruga de Esopo, mas com uma moral diferente. 
Aquiles, o grande herói grego, e uma tartaruga decidiram apostar uma corrida. Como a velocidade de Aquiles é maior que a da tartaruga, esta recebe uma vantagem inicial de 1 hora, começando a corrida um trecho na frente da linha de largada de Aquiles.  Então, Aquiles mesmo correndo numa velocidade superior à da tartaruga, segundo o Paradoxo de Zênon, jamais poderia vencer, pois a divisão dos intervalos ao meio propostos por Zênon de Eléia jamais teriam seu final.
Vamos supor que Aquiles comece a correr a 1 hora. Para superar o atraso, primeiro ele deve chegar ao ponto onde a tartaruga já estava a 1h, e isso pode custar, digamos, dez minutos. Mas nesses dez minutos, a tartaruga, obviamente, continuou andando, de modo que Aquiles, para alcançá-la, terá agora de chegar ao ponto onde a tartaruga estava a 1h10. Isso vai levar algum tempo, talvez cinco minutos. Mas nesses cinco minutos, a tartaruga continuou se arrastando na direção da linha de chegada, e agora Aquiles deve correr para onde a tartaruga estava a 1h15. E assim por diante. Portanto, concluía Zênon entusiadamente, o senso comum e que leva a prever a vitória de Aquiles  é contrariado pelas leis do movimento, e portanto, nossas ideias de movimento estariam erradas.

Mas temos certeza de que Zênon viajou de um lugar para outro e que usou movimento para fazer isso. É possível até que tenha ultrapassado algumas tartarugas de sua época. Zênon simplesmente não acreditava que o entendimento comum da realidade fosse coerente, já que, como tentou demonstrar, o senso comum e as leis do movimento não poderiam ser simultaneamente verdadeiros.  O erro de Zênon foi que ele não percebeu que estava dividindo infinito por infinito, mas que não precisamos entrar em detalhes, agora. O que Zênon estava realmente tentando provar era a doutrina de seu mentor Parmênides, cujas noções de ser e não ser eram bastante abstratas. Segundo seu mestre Parmênides, de fato, a realidade era irreal.

Os filósofos gregos da época de Parmênides não puderam efetivamente apontar falhas em seus argumentos; o primeiro a fazer isso foi Platão, que atacou as doutrinas de Parmênides em uma série de diálogos (Parmênides, Teeteto e Sofista). Mas, Platão não foi completamente vitorioso, já que Aristóteles ainda achou necessário contestar e refutar os argumentos de Parmênides e Zênon, coisa que fez ao examinar as causas do movimento, tema de sua obra chamada de Movimento Primordial.







COMO RESOLVER ESSE PARADOXO UTILIZANDO-SE DA MATEMÁTICA


Imaginemos que queiramos percorrer uma distância entre os pontos A e B que tem 2 unidades.  Então, quantos pontos existem entre o A e B?  De acordo com o grande matemático Euclides(c.330 a.C. - 260 a.C.), entendemos que há infinitos pontos entre os dois pontos quaisquer.  Dados dois pontos, partindo do ponto A(0) para atingir o ponto B(2), antes temos que atingir C, ponto médio de AB, e partindo de C para atingir B existe um ponto D, ponto médio de CB, e assim sucessivamente, como podemos verificar abaixo:

Esse paradoxo, de maneira contraditória diz que a soma de uma infinidade de pequenas distâncias deveria ser infinita ou que o tempo de percurso é infinito, o que é foi um grande erro. Quando descobriram séries infinitas cujas somas convergem para valores finitos, o paradoxo perdeu o sentido, pois não é necessário um tempo infinito para realizar a soma de infinitas parcelas. 

CONCLUSÃO
Hoje, usando da Matemática temos condições de mostrar que Zenão estava totalmente errado em pensar que o movimento era irracional a partir desse paradoxo que induziram os pensadores a um problema aparentemente sem solução. Mas, basta recorrer a outros sistemas de estudos, como  no caso o matemático, usando a soma dos infinitos termos de uma P.G. para se encontrar a tal solução. Não devemos negar a importância que Zenão teve e ainda tem em formular tais aporias; apenas queremos elucidar a importância que sem dúvidas, teve os seus paradoxos.  Zenão foi um personagem ímpar na história e na consolidação do pensamento ocidental, pois foram tais dificuldades que possibilitaram aos estudiosos de todos os tempos, pensar melhor o movimento, o infinito, etc.
Como esse paradoxo nega muitas contradições intuitivas, e que são comuns ainda hoje para a maioria dos nossos alunos, a leitura e a discussão do mesmo tem proporcionado um aspecto positivo, e fazem com que os mesmos percebam muitas contradições em seus argumentos.
Se nós professores, trabalharmos com essas aporias ou contradições nas aulas de matemática, pode ser que os alunos deixem de ver a matemática como algo mágico e inútil.  Reforçamos que a matemática é  uma forma histórica de resolver os problemas humanos, isto é, a matemática é algo necessário e concreto e não desvinculado da realidade, como hoje a maioria dos nossos alunos se posicionam. Dessa forma, pretendemos tornar a matemática mais atrativa e motivadora para todos nós, inclusive para incentivar os alunos para novas e motivadoras descobertas.

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  Baseado no texto do site: http://www.reocities.com/Athens/4539/zenon.html 
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