Ache a Taxa de Juros Embutida em Suas Compras a Prazo

Taxa de Juros Embutida no Valor das Prestações de Suas Compras a Prazo e Taxa de Juros Compostos nos Empréstimos

1) Taxa de Juros Compostos

É muito importante sabermos qual é a taxa de juros compostos numa operação financeira.
Ela é data por: 

Onde M= montante da operação, i = taxa mensal, n = quantidade de período da operação e C = capital da operação;

Exemplos:

a. Calcule a taxa mensal de uma operação de 10.000,00, cujo valor futuro em 7 meses será de 11725,44.

i= (M/C^1/n) -1 → i= (11725,44/10000,00 ^1/7) - 1 → i= 1,1725^1/7 - 1

→i = 1,1725^0,1429 -1 → i= 1,0230 -1 → i=2,30% ao mês

b. Quanto vale a taxa mensal de um empréstimo de 120.000,00, contratado no prazo de 6 meses, e que devo pagar em juros compostos 20.000,00 no total?

i = (140000/120000)^1/6 - 1

i = 1,1667^1/6 - 1 → i= 1,1667^0,1667 - 1 = 1,0260 - 1 →i = 0,026 =2,60%a.m.

2) Calculando a taxa de juros embutida no valor das prestações mensais de uma compra a prazo 

Sempre que compramos a prazo, no valor das prestações mensais, estão inclusos os juros que neste caso são compostos.  Devemos considerar o prazo das prestações que normalmente ocorrem após o 1º mês da efetivação da compra ou deduzir o valor da primeira prestação do capítal contratado, se a 1ª prestação se der como entrada ou for paga no ato da operação.

Vamos tentar explicar esses macetes, através de três exemplos abaixo:

c. Suponhamos que você comprou um produto que custa 500,00 à vista e que a prazo fica em duas parcelas fixas de 257,52 mensais, sem dar entrada alguma.  Queremos saber qual a taxa de juros que a loja está praticando nesta operação.

Veja que a fórmula de juros compostos já discutida por nós, na postagem Matemática Financeira é dada por: M = Ci.(1+i)^n, onde M= Montante total da dívida, Ci = Valor inicial, i= taxa de juros do período e n é o número de prestações contratadas.

Logo: M = 500(1+i)²

Achemos agora o montante que representa cada uma das prestações, onde Mp1 = montante da 1ª prestação e Mp2 = montante da 2ª prestação:

Mp1 = 257,52(1+i)²-¹  e Mp2 = 257,52(1+i)²-² 

O M que é o montante do total é dado por: M = Mp1 + Mp2

Logo, 500(1+i)² = 257,52(1+i)¹ + 257,52(1+i)^0 

Note que trata-se de uma equação do segundo grau e podemos escrevê-la:

500(1+i)² - 257,52(1+i) - 257,52 = 0

Vamos fazer (1+i) = x, então, teremos:

500x² - 257,52x - 257,52 = 0

como: 1+i=x → i= 1,01999 -1 → i= 0,01999 → i = 2%

d. Considere o mesmo problema anterior, com a ressalva de que a primeira prestação no valor de R$ 257,52 foi paga como entrada na operação, então qual será a taxa de juros mensais cobradas neste caso?
Solução: Se o valor contratado foi de 500,00 e desembolsamos 257,52, então ele deverá ser deduzido do principal, ou seja: Ci = 500,00 - 257,52 
→ Ci =242,48 e M = valor da prestação → M = 257,52
Logo: M = Ci(1+i)^n 
257,52 = 242,48 ( 1+ i )¹
257,52 = 242,48  + 242,48i
257,52-242,48 = 242,48i
15,04 = 242,48i
15,04/242,48 = i → i = 0,062 → i = 6,2%

e. Se você comprou uma TV a prazo e pagou ela em 2 parcelas de 537,80 sem dar uma entrada, sendo que o valor a vista era de R$ 1.000,00, calcule quanto que foi a taxa de juros embutida nas prestações? 
Usemos a fórmula: M= Ci (1+i)^n
1000(1+i)^2 = 537,80(1+i)²-¹ +537,80(1+i)²-²
1000(1+i)² = 537,80 (1+i) + 537,80
Fazendo 1+i = x → 1000x² -537,80x -537,80 =0
x= (537,80± (√537,8² + 2151200)) / 2000
x= (537,80 ± √289228,84 + 2151200) / 2000
x= (537,80 ± √2440428,84) / 2000 → x= (537,80 ±1562,19) / 2000
→ x= 2099,99 / 2000 → x= 1,049995
como i = x-1 → i = 1,049995 - 1 → i = 4,9995%

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