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sexta-feira, 5 de setembro de 2014

Sequência de Fibonacci - A Arte da Matemática na Natureza!

A Arte da Matemática e a Expressão do Criador na Natureza!
É surpreendente sabermos que toda a beleza da natureza que existe em nosso universo, e que podemos verificar nas estruturas das plantas, das flores, das nuvens que provocam os temidos furacões, e até mesmo nas estrelas que pertencem a uma determinada galaxia, elas se manifestam através de um padrão numérico muito estudado por vários povos e que ficou conhecido como a série ou sucessão de Fibonacci. Tudo isso, têm uma relação que é percebida na ordem das folhas de algumas plantas, na ordem dos galhos, das pétalas e das flores, entre outras estruturas, cujos números seguem uma curiosa sequência {1,1,2,3,5, ...} e que seria segundo alguns estudiosos a expressão de Deus na obra relizada por ele aqui no nosso universo.  Ainda, sabemos que esta série é chamada de Série ou Sequência de Fibonacci.  Ela  também da origem à mesma sucessão que define a proporção áurea, encontrada em obras de muitos artistas e pintores. Artistas como Leonardo da Vinci entre tantos outros, as usaram, quem sabe intuitivamente em seus trabalhos e em suas maravilhosas pinturas em suas obras de arte. Há relatos de que até nos nossos ossos humanos encontramos esses misteriosos e polêmicos números. Também é impressionante sabermos que a série que aqui vamos estudar, está presente em quase tudo que admiramos na natureza exuberante do nosso planeta.  É como se um grande arquiteto ou um artista muito importante, deixasse a sua assinatura, após ter construído uma grande e bela obra de arte.

Sucessão ou Sequência de Fibonacci
A sequência de Fibonacci  foi divulgada pela primeira vez no livro de Liber Abaci (1202) de autoria de Leonardo Fibonacci, mas segundo a história, sabe-se que essa teoria já seria do conhecimento de outros povos antigos, contudo foi Fibonacci que a estudou e a divulgou ao mundo das ciências. Leonardo Fibonacci, quando inciou os seus trabalhos sobre esta série, considerou o crescimento de uma população de coelhos, e que teria sido simulada por ele, e entretanto o fato, não foi biologicamente testado. 


Você saberia resolver o problema proposto por Fibonacci na reprodução de coelhos?







Fibonacci, em seu livro, propos o seguinte problema na reprodução dos coelhos:
Um casal de coelhos adulto procriam sempre um outro casal, apenas uma vez por mês e eles demoram 2 meses para crescer e tornar a procriar novamente. Supondo que comecemos com apenas um casal, quantos casais teremos ao final de 12 meses em condições normais de reprodução, supondo que todos os coelhos nunca morreriam? 
Solução:
1º mês = 1 casal
2º mês = 1 casal
3º mês = 2 casais
4º mês = 3 casais
5º mês = 5 casais
...
12º mês = 144 casais
Resumindo:
Os números ao lado descrevem os casais de coelhos, no crescimento simulado dessa população, depois de decorridos n = 12 meses do tempo inicialmente proposto, supondo que no início teríamos apenas um casal e ainda que:
Ø no primeiro mês,  teríamos apenas um casal de coelhos;
Ø os casais  se reproduzem apenas, após o segundo mês de vida;
Ø não existiria problemas genéticos no cruzamento consanguíneo deles;
Ø todos os meses, cada casal fértil, daria a luz a um novo casal;
Øenfatizamos que os coelhos nunca morreriam.

Definição da Sequência de Fibonacci
A Sucessão de Fibonacci  ou Sequência de Fibonacci é uma sequência infinita de números naturais, começando inicialmente pelos números 1 e 1 nos dois primeiros termos, e que, cada termo subsequente, a partir do 3º é igual a soma dos dois termos anteriores.  Por convenção podemos definir ainda que o primeiro termo ou a(0) = 0, isto é, pode-se convencionar que a sequência começa em 0, 1.
Dessa forma, os números de Fibonacci ficariam dispostos na seguinte sequência:  {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, …} 
Nota: Caso seja de seu interesse, podemos omitir o zero inicial.
Usando os termos matemáticos, a sequência pode ser definida recursivamente pela fórmula abaixo, sendo o primeiro termo a0= 0; a1= 1, a2= 1, a3=2 ... supondo que ela inicia-se com 0,1. Nesta condições, então: 
an = a(n-1) + a(n-2), sendo n>=2, e cujos valores iniciais são dados por: a0= 0, a1 = 1, a2=1, a3=2, ... isto quando incluirmos o zero inicial na sequência.
Exemplo:
1) Calcular o sexto termo na sequência acima, supondo que a série comece com zero?
an = a(n-1) +a(n-2), n>=2 
a6 = a5 + a4 →a6 = 5+3 = 8
Veja que de fato, a partir do terceiro número, cada um deles é o resultado da soma dos números anteriores, por exemplo, 10946 = 4181 + 6765.
Tabela com os primeiros 21 números da sequência de Fibonacci:
 n  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21 
 a(n)  0  1  1  2  3  5  8  13  21  34  55  89  144  233  377  610  987  1597  2584  4181  6765 10946

Aplicações da Sequência de Fibonacci
A sequência de Fibonacci tem muitas aplicações importantes e em muitas áreas do conhecimento, como na análise de mercados financeiros, na ciência da computação e até na teoria dos jogos. Ela é também aplicada na Biologia e na Agronomia e outras áreas do conhecimento.
Enfatizamos que esses curiosos números se fazem presentes em muitas plantas, como na disposição dos galhos de algumas árvores ou nas haste das folhas, entre outras aplicações.  Veja mais aplicações nos textos abaixo:

Aplicações na natureza:
1) Nos arranjos das folhas
Encontramos os números da sequência de Fibonacci em algumas plantas, como nos arranjos ordenados das suas folhas. Observando uma folha qualquer, se atribuirmos a ela o valor folha-zero e contando o número de folhas até alcançar uma outra folha com a mesma orientação(acima da folha zero), pode-se verificar que ela segue o padrão da sequência Fibonacci.

2) Nas pétalas das flores
Ela pode estar presente também nas flores de muitas plantas, como se verifica no número de pétalas de algumas espécies, que certificam que elas estão seguindo o mesmo padrão da série de Fibonacci:
·      3 pétalas – presentes nos lírios e íris;
·      5 pétalas – presentes nas columbinas, rainúnclos amarelos e esporas;
·      8 pétalas – nos delfíneos;
·      13 pétalas – verificadas nos crisântemos, cinerária e tasna;
·      21 pétalas – nas chamadas asteraceaes;
·      34 pétalas – encontradas nas banana-na-terra e malmequer.

3) Nas sépalas ou estames das flores.  


A sépala é a parte verde debaixo das pétalas de uma rosa.
Por exemplo: algumas flores tais como:    áster, cosmo, malmequer, entre outras, apresentam como número de sépalas ou estames uma sequência classificada como números de fibonacci. Veja o esquema ao lado.




4) Nos ramos das plantas

No caso dos ramos das plantas também verifica-se a sequência Fibonacci. Quando numa planta surge um novo ramo, observamos que só 2 meses após, ele consegue dar origem a um novo ramo. Prosseguindo este processo, podemos verificar um esquema semelhante, ao da figura abaixo, que também nos leva aos números de Fibonacci:
Observa-se este tipo de crescimento na planta chamada Achillea ptarmica.

5) Nas pinhas

Nas pinhas também verificamos as espirais de Fibonacci. Há uma tendência nas espirais para a esquerda e para a direita dos termos consecutivos seguindo os  números de Fibonacci.



6) Nas sementes de girassóis


Os números de Fibonacci  também são verificados nas sementes do centro da planta girassol. Acredita-se que as sementes formem espirais, quando se curvam para a esquerda e para a direita.              
   



A Matemática Aqui é Simples e Descomplicada!














3 comentários:

  1. Gostei, acredito que aí encontra-se a presença de Deus, criador de todas as coisas...
    Parabéns!

    ResponderExcluir
  2. Agradecemos a visita e aos elogios.
    Um grande abraço a todos!

    ResponderExcluir

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