A Ideia de Infinito

O que é o infinito?

Pense bem! Infinito ...  , seria um Número? ... Seria uma ideia?... Seria Deus?... Seria nosso Universo?  Todos os grãos de areia das praias? ...

... É um número grande ...

... É um número enorme, com muitos dígitos ...

... É um número extremamente grande ...
Agora que você já pensou sobre isso, vamos ao assunto ...

Resumidamente, dizemos que infinito é algo que não tem fim.  O infinito nos transmite a ideia de algo que não tem fim, ou algo que é incontável.

Exemplo: No mundo real não temos nada parecido com o infinito. Basta pensar aquilo que é incontável ou ainda: "sem fim", ou "sem limites".

Infinito não é "bem maior", porque já está completamente formado.  Às vezes as pessoas dizem que é alguma coisa que: "continua e continua", e isso sinaliza que ele está crescendo de alguma forma. Mas o infinito não faz nada, ele simplesmente é. Infinito não significa que é um número real.  Infinito não é um número real, é uma ideia. Uma ideia de algo sem fim.

Infinito também não pode ser medido.  Mesmo, por exemplo as galáxias distantes não podem competir com o infinito.

O infinito é simples?

Sim! Na verdade, é mais simples do que as coisas que podem ter um fim. Porque, quando algo que tem um fim ou final, temos que definir como finito.

Exemplos:

a) Em Geometria uma "reta" tem comprimento infinito ... ela vai em ambos os sentidos, sem um final definido.

b) A sequência: {1, 2, 3, ...}. Essa sequência de números naturais nunca termina, e podemos dizer que ela é infinita.

c) A fração um terço  (1/3) é um número finito (não é infinita). Mas quando escrita como um número decimal, sabemos que os dígitos 3 se repetem indefinidamente. (eu digo "0,3 repetindo"): 0,3333333 ... (etc).  Assim sendo, não há nenhuma razão para dizer que os números 3 nunca deveriam parar: eles se repetem infinitamente.

d) O número decimal: 0,999 ...  É visto  como uma série infinita de noves, não há final para o número de 9.  Mas, o que acontece se ela terminar em um 8?"  Simplesmente ela não termina, porque 0,999 ... é igual a 1.

d) AAAA ... É uma série infinita de "A"s.

e) Um segmento de reta. Numa reta, há infinitos pontos. Mas também em um segmento de reta teremos infinitos pontos.

O que você entende por um número finito?

Seriam grandes números? ... Existem alguns números realmente muito grandes e que dificilmente usamos em nosso cotidiano.

Por exemplo:

Um googol é o número 1 seguido por cem zeros (10^100):

10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

Nota: Esse termo foi criado por um estudioso e matemático para nomear um número muito grande, mas que ele  não é um número infinito.  Segundo fontes da internet pesquisadas, Googol é o termo que deu origem à grande multinacional americana Google.  Mas, imagine um número ainda maior que este, será que podemos  criar um número muito maior do que este?  Claro que sim, por isso é que ele não é infinito, ou seja: sempre será possível obtermos um número ainda maior.

Todos esses números, mesmo muito grandes são considerados números "finitos”, ou seja, podem ser escritos e têm seu limite máximo definido ou um final definido.

Ainda assim, nenhum desses números estariam perto do infinito, porque eles são todos finitos, e infinito ... é algo que não é finito.

Usando Infinito

Ás vezes, equivocadamente usamos o conceito de infinito como se fosse um simples número, mas o infinito não se comporta como um número real.

Para ajudá-lo a entender isso, temos que pensar em algo "interminável" . Sempre que você se deparar com símbolo do infinito "∞" pense em algo que não tem fim ou que é incontável.

Por exemplo: ∞ + 1 = ∞

Isso diz que o infinito mais um, ainda é igual ao infinito.

Quando algo é já sem fim, podemos acrescentar 1 e isso ainda também seria classificado como infinito.

A coisa mais importante sobre o infinito é que:

- ∞ < x < ∞, sendo que x é um número real

Podemos dizer abreviadamente que: "Menos infinito é menor que qualquer número real, e infinito é maior do que qualquer número real "

Propriedades aplicadas ao infinito:

I) Considerando que x>0, (x um número positivo):

∞ + ∞ = ∞

∞ × ∞ = ∞

- ∞ × - ∞ = ∞

- ∞ × ∞ = - ∞

x + ∞ = ∞

x + (- ∞) = - ∞

x - (- ∞) = ∞

X × ∞ = ∞

X × (- ∞) = -∞

II) Considerando: x <0 (x um  número negativo):

× . ∞ = -∞

× . (- ∞) = ∞

Indefinições

A expressão: ∞ / ∞ é diferente de 1.

Nota: Porque isso ocorre?

Não vale 1 porque nós realmente não sabemos como o infinito é grande, por isso não podemos dizer que dois infinitos são os mesmos números. Por exemplo ∞ + ∞ = ∞, assim: ∞  =    ∞ + ∞, que não significa que:

1     =    2    (E isso não faz sentido!)

Também poderiamos ter feito 1 = 3 e assim por diante ... por isso dizemos que ∞ / ∞ é um número indefinido.

Tamanho dos Conjuntos infinitos

Se você continuar a estudar este assunto que você irá encontrar discussões sobre conjuntos infinitos, e a ideia de diferentes tamanhos de infinito.

Por exemplo, existem infinitos números inteiros {0,1,2,3,4, ...},

Mas existem mais números reais (como 12,308 ou 1,1111115) porque existem infinitas variações possíveis depois do ponto decimal também.

Sabe-se que isso vai além do simples conceito de infinito que discutimos aqui.

Conclusão

O infinito cujo símbolo é "∞" vem do latim e é um adjetivo que denota algo que não tem início, nem fim, ou seja não tem limites, ou o que é inumerável. É também um nome ou número  que representa o que não tem limites.

É um conceito usado em vários campos do conhecimento, como na matemática, filosofia e a teologia.  Na matemática é uma noção quase numérica usada em proposições. Distingue-se entre infinito potencial e infinito atual.  Na religião poderia ser comparada a uma característica de Deus.

O infinito pode ser visto de muitas perspectivas. A intuição percebe-o como uma espécie de "número" maior do que qualquer outro. Para algumas tribos primitivas seria algo maior que três, representando "muitos", ou seja: algo incontável. Para um filósofo é algo que tem a ver com a eternidade e a divindade. 

Na matemática esse conceito  tem as suas raízes mais profundas, sendo a disciplina que mais contribuiu para a sua compreensão.

O infinito é uma ideia simples: "sem fim". Todas as coisas que sabemos que tem um fim ou um final são classificadas como finitas e o oposto disso seria o infinito.

Se você quer mais sobre esse número misterioso que chamamos por infinito, veja nosso post: O universo é finito ou infinito?

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