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sábado, 10 de janeiro de 2015

Lógica - A Matemática dos Computadores

Lógica – A Matemática dos Computadores
A lógica que conhecemos hoje, só foi desenvolvida de uma forma mais abrangente em meados do século XIX, quando estudiosos como Boole e Bertrand Russel desenvolveram uma maneira de converter a lógica em uma álgebra, envolvendo a matemática como modelo.  Esse estudo também foi chamado de Matemática dos computadores, pois sua aplicação é muito utilizada pelos programadores e analistas de sistemas. Eles formalizaram uma linguagem simbólica para expressar o pensamento lógico, foi então quando houve o surgimento da lógica matemática ou simbólica.  A partir de então, o raciocínio lógico passou a ser visto e expressado como de cálculo matemático.
Na Álgebra que foi desenvolvida por Boole existem apenas três operadores E, OU e NÃO (AND, OR, NOT). Estas três funções são as únicas operações necessárias para efetuar comparações ou para realizar as quatro operações aritméticas básicas.
No ano de 1937, depois de 75 anos da morte de Boole, Claude Shannon, que naquela época era estudante do MIT(Massachusetts Institute of Technology) - Boston, USA, estabeleceu a relação entre a Álgebra de Boole e os circuitos eletrônicos, transferindo os dois estados lógicos (SIM e NÃO) para diferentes diferenças de potencial no circuito.
Atualmente todos os computadores usam a Álgebra de Boole materializada em microchips contendo milhares de interruptores miniaturizados e combinados em portas (gates) lógicos que produzem os resultados das operações utilizando da linguagem binária, que usa apenas os símbolos 0 e 1(falso ou verdadeiro), mas essa linguagem algébrica será abordada numa próxima oportunidade.
Ao longo do século XX, a lógica atingiu elevado grau de formalização e atualmente já dispomos de um poderoso sistema de símbolos e regras de combinações, entre os símbolos e sinais que nos possibilitam obter conclusões válidas. Sabemos que na constituição dos computadores temos a parte de hardware(parte física das máquinas e peças) e software(progamas). Veremos então a lógica formal que usamos na programação dos computadores ou na área de software e como isso foi sintetizado:

Proposição ou Sentença
O primeiro conceito que é preciso dominar para compreender as estruturas da lógica formal é o de proposição, também chamada de sentença. 
Uma proposição ou sentença é qualquer oração que pode ser avaliada como verdadeira ou falsa.
As proposições constituem o alicerce das estruturas fundamentais da Lógica Matemática, que, por sua vez, é fundamentada em dois princípios básicos (ou axiomas):
1º- PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO: uma proposição nunca será verdadeira e falsa simultaneamente.
2º- PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: uma proposição sempre assume um dos valores lógicos: ou é verdadeira ou é falsa.
Além desses princípios básicos, podemos afirmar que toda proposição, por ser uma oração, possui sujeito e predicado, além de sempre ser uma oração declarativa.

Exemplos das Proposições
Considere as seguintes orações: 
a) Cinco é menor que oito. b) Como é o seu nome? c) Ai, que susto! d) Sete menos três. e) Vá dormir.
Considerações: A frase (a) é uma proposição, pois é possível definir que ela é verdadeira. As frases (b) e (c) não podem ser avaliadas como verdadeira ou falsa, portanto não são proposições. Note que na frase (b) é uma pergunta e a frase (c) é uma exclamação. Quanto à frase (d), nota-se que ela não possui predicado, por isso ela também não constitui uma proposição. A frase (e) também não assume nenhum valor lógico e, portanto, não é uma proposição.

Avaliação1
Analise as orações seguintes e nos diga, quais delas são proposições.
1. Que horas são agora?
2. Cristóvão Colombo descobriu o Brasil.
3. A raiz quadrada de 36 é 6.
4. Realize suas tarefas com muita atenção!
5. Não se desespere, este exercício é muito fácil!
São proposições: 2 e 3

Valores Lógicos das Proposições
O valor lógico de uma proposição está diretamente associado ao resultado de sua avaliação como verdadeira ou falsa. Neste caso, dizemos que o valor lógico verdade (V) está associado às proposições verdadeiras, assim como o valor falsidade (F) está vinculado às proposições falsas.
Lembre-se: Pelos princípios da não contradição e do terceiro excluído, toda proposição possui UM, e apenas UM, dos valores lógicos (V ou F).
Exemplos
Considere as seguintes proposições:
a: O Brasil é dividido em cinco regiões.
b: Santos Dumont é o pai da Informática.
Resposta: O valor lógico da proposição (a) é verdadeiro(V) e o valor lógico da proposição (b) é falso(F).

As representações simbólicas destes valores são respectivamente: V(a) = V e V(b) = F

Avaliação2
Determine o valor lógico de cada uma das proposições seguintes.
1. A cor do cavalo branco de Napoleão é branca.
2. Imperatriz é a Capital do Ceará.
3. A raiz quadrada de 16 é menor que a metade de 10.
4. O Brasil é uma República Federativa Presidencialista.
5. A metade de 5 menos 2 é um número inteiro positivo.
Resposta: V(1)= V, V(2)=F, V(3)=V, V(4)=V, V(5)=F.

Classificação das Proposições
As proposições dos exemplos acima são consideradas proposições simples ou atômicas, uma vez que não é possível decompô-las em proposições mais simples.
Existem, ainda, proposições mais complexas, chamadas de proposições compostas ou moleculares, formadas por duas ou mais proposições simples ligadas por meio de conectivos lógicos como os abaixo descritos:


Conectivos lógicos:
E (^) – é uma conjunção
OU(v) – é uma disjunção
NÃO (~) – é uma negação
SE ..., então .... () – é um valor condicional
... se e somente se ... () – é um valor bicondicional




Exemplos de Proposições Compostas
Nas proposições seguintes, os conectivos estão destacados.
a) Pelé é brasileiro e Maradona é argentino.
b) Windows não é um software livre.
c) Vou à praia ou ao campo.
d) Se eu estudar, então serei aprovado em Matemática para o concurso.
e) Serei aprovado em Matemática no concurso se, e somente se, eu estudar.
Em geral, as proposições simples são representadas por letras latinas minúsculas e as proposições compostas por letras latinas maiúsculas. Assim, podemos representar a proposição Pelé é brasileiro pela letra a minúscula, ou seja:
a: Pelé é brasileiro.
Ainda, a proposição Maradona é argentino, pode ser representada pela letra b minúscula, ou seja:
b: Maradona é argentino.
A proposição composta, Pelé é brasileiro e Maradona é argentino pode ser representada pela letra A maiúscula e escrita da seguinte maneira:
A: Pelé é brasileiro e Maradona é argentino.

Exemplos de proposições compostas:
Considere as proposições simples:
P: Luiz é professor.
Q: Paulo é advogado.
Represente então, as proposições compostas:
a) p^q: Luiz é professor e Paulo é advogado.
b) pvq: Luiz é professor ou Paulo é advogado.
c) p^~q: Luiz é professor e Paulo não é advogado.
d) p→q: Se Luiz é professor, então Paulo é advogado.
e) p↔q: Luiz é professor se e somente se Paulo é advogado.
  
Agora pense: Como determinar o valor lógico de uma proposição composta?

Valor Lógico de Proposições Compostas









Sabemos, pelo princípio do terceiro excluído, que uma proposição simples p ou é verdadeira ou é falsa. Os possíveis valores lógicos de uma proposição simples podem ser representados, por meio de uma tabela ou como uma árvore de possibilidades, conforme veremos abaixo:
Nota: O valor lógico de uma proposição composta é definido em função dos valores lógicos das proposições simples que as compõe e levando-se em consideração os conectivos empregados. Para facilitar este cálculo, utiliza-se uma estrutura conhecida como tabela-verdade.

Tabela Verdade
Uma tabela-verdade é uma tabela que descreve os valores lógicos de uma proposição em termos das possíveis combinações dos valores lógicos das proposições componentes e dos respectivos conectivos usados.
P
Q
~p
Pvq
P^q
P→q
P↔q
V
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
V
V
Nota: A tabela nos facilita a memorização das regras dos conectivos.

Exercícios:
1) Complete o quadro abaixo com os valores lógicos correspondentes:
P
Q
~p
~q
pvq
P^q
P^~q
Qv~p
V
V






V
F






F
V






F
F






2) Numa eleição, o candidato Pedro Silva será eleito ou não será eleito. Diga se é uma proposição verdadeira ou falsa?
3) Faça uma tabela verdade com os possíveis valores de (pvq)→q.
4) Se eu tiver as proposições p e q, onde p é verdadeira e q é falsa, escreva como serão os valores de:
a) p^q?
b) p→q?
c) ~(pvq)?
d) ~(p↔q)?
5) a)Paulo é católico?  b)José é Espirita.  c) Que natureza exuberante!
d) Paulo é católico e José é Espirita.  e) A raiz quadrada de 25 vale 5.
Queremos saber:
Quais das sentenças acima são proposições?  E em caso afirmativo, quais são verdadeiras ou falsas?

Respostas:
1) Complete o quadro abaixo com os valores lógicos correspondentes:
P
Q
~p
~q
pvq
P^q
P^~q
Qv~p
V
V
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V

2) Numa eleição, o candidato Pedro Silva será eleito ou não será eleito. Diga se é uma proposição verdadeira ou falsa?
É UMA PROPOSIÇÃO VERDADEIRA TAMBÉM CHAMADA DE TAUTOLOGIA.

3) Faça uma tabela verdade com os possíveis valores de (pvq)q.
P
Q
Pvq
(pvq)→p
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V

4) Se eu tiver as proposições p e q, onde p é verdadeira e q é falsa, diga como serão os valores de:
a) p^q?
V^F = F
b) pq?
V→F = F
c) ~(pvq)?
~(VvF)=~(V)=F
d) ~(pq)?
~(V↔F)=~(F)=V

5) a) Paulo é católico?  b) A capital do Brasil é o Rio de Janeiro.  c) Que natureza exuberante!  d) A semana tem 7 dias.  e) A raiz quadrada de 49 vale 7.  Queremos saber:  Quais das sentenças acima são proposições?  E em caso afirmativo, quais são verdadeiras ou falsas?  São proposições: b, d, e, sendo que d e e são verdadeiras enquanto que b é falsa.

Atenção: Se você quer mais dicas de como construir uma tabela verdade e ver mais exercícios sobre lógica, acesse nosso post: Dicas de Lógica para a Construção da Tabela Verdade e bons estudos!
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