A Arte de Resolver Problemas Matemáticos

Como Resolver Problemas Matemáticos!

Todos nós já nos deparamos com problemas, de toda natureza e ordem, seja na vida acadêmica, escolar, nos concursos de testes e provas ou mesmo na vida particular. Eles, quase sempre são resolvidos de alguma forma correta ou errada. Mas, como resolvê-los de forma certa? Para isso, é necessário escolhermos uma estratégia útil e prática, para acharmos a melhor resposta que seja a correta, isso é o que todos nós queremos.  Se for na vida particular, o erro poderá nos trazer problemas diversos, como sentimental, financeiro e que poderão nos trazer traumas, complicações e decepções diversas. Já, no caso acadêmico ou escolar podem nos levar a uma reprovação naquele curso ou concurso e que também vão nos trazer atrasos, prejuízos e até perdas irreparáveis, quando podemos não ter outra oportunidade de participação em razão da idade, mudança nas exigências do edital, entre tantas outras.  Mas, o objetivo aqui é encontrar estratégias, para solucionar problemas matemáticos e minimizar os erros que possam ocorrer, como fazer uma questão considerada difícil, tornando-a mais fácil e compeensível, gastando-se menor tempo e proporcionando uma resolução correta, e isto é o que vamos discutir agora nesta matéria.

Mas, fazer isso exige muita dedicação e empenho por parte de todos nós, e segundo o método explicado por G. Polya da Universidade Stanford em seu famoso livro "A Arte de Resolver Problemas Matemáticos", esta habilidade pode ser traduzida como uma verdadeira arte que se aprende na prática, ou seja, aprender treinando como se faz para solucionar problemas matemáticos. 
Todos nós, já nos deparamos com muitas questões matemáticas, muito difíceis de serem solucionadas e não sabíamos, nem por onde começar a achar um caminho para encontrar sua resolução. Se você não tem ideia de como começar a resolver uma questão matemática, a primeira coisa que deverá fazer é procurar ficar trânquilo e calmo, nunca se desesperar, pois nesta hora manter o equilibrio, calma e não se afobar, ajuda e muito. Mas só isso não basta, existem também outros macetes que podem te ajudar nesse momento, que são pequenos detalhes que poderão abrir nossa mente, para elaborar uma estratégia boa, e quem sabe, achar uma saída plausível para isso. 

Mas, como resolver problemas matemáticos considerados por muitos candidatos como complicados? 

Pensando nisso, propomos a você, fazer uso do método já descrito, para solucionar aquelas questões e problemas da matemática, que tanto medo nos impõe. Segundo  Polya, em seu livro já mencionado, ele nos aconselha, além da calma e trânquilidade, seguirmos os seguintes passos:

1) LEIA COM ATENÇÃO E COMPREENDA O PROBLEMA:

Primeiramente, você tem que ler com calma e entender o problema, fazendo as seguintes perguntas:

· Qual é a incógnita? Quais são os dados? Quais são as condições?

· É possível satisfazer as condições? Elas são suficientes para determinar a incógnita? Ou são insuficientes? Ou redundantes? Ou contraditórias?

· Faça um esboço ou uma figura numa folha de papel. Outra, se necessário. Introduza uma notação adequada. Anote tudo que julgar importante! Apague o que for irrelevante!

· Separe as condições por partes.

2) CONSTRUA AGORA UM PLANO OU UMA ESTRATEGIA DE RESOLUCAO:

Ache todas as conexões entre os dados e a incógnita. Talvez seja conveniente considerar outros problemas auxiliares ou particulares, se uma conexão não for achada em tempo razoável. Use isso para encontrar um plano ou uma estratégia de resolução do problema de forma adequada.

Vale a pena adotar esses outros conselhos:

· Já encontrou este problema ou algum outro parecido?

· Conhece um problema semelhante? Você conhece teoremas ou fórmulas que possam lhe ajudar?

· Olhe para a incógnita! E tente achar um problema similar ou familiar e que tenha uma incógnita semelhante!

· Verifique se existe um problema relacionado com o seu e que você sabe resolver. Então, consegue aproveitá-lo? Poderia usar seu resultado? Ou o seu método agora? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar de modo a viabilizar esses objetivos?

· Veja, se conseguiria enunciar o problema de uma outra maneira?

· Se você não consegue resolver o problema dado, tente resolver outro problema parecido. Veja se consegue imaginar um caso particular mais acessível (fácil)? Um caso mais geral e mais acessível? 

· Você consegue resolver alguma parte do seu problema? Mantenha apenas parte das condições do problema e observe o que ocorre com a incógnita, como ela varia agora? Veja, se consegue obter alguma coisa com estes dados? Você consegue imaginar outros dados capazes de produzir a incógnita? Veja, se consegue alterar a incógnita ou os dados, ou ambos, de modo que a nova incógnita e os novos dados fiquem mais próximos de uma solução?

· Você está levando em conta todos os dados da questão? E também todas as condições?  Finalmente monte um plano no papel, anotando tudo que for importante, como: os dados do problema, a incógnita e as estratégias encontradas para resolver o problema.

3) EXECUTE O PLANO OU A ESTRATEGIA

Se você já tem um plano esboçado com todos os dados do problema, inclusive com a incógnita bem definida, esta é a etapa mais fácil do processo de resolução de qualquer problema. Contudo, a maioria dos principiantes, tendem a pular essa etapa prematuramente, e acabam desistindo de achar a solução. Outros, elaboram estratégias mirabolantes e inadequadas e acabam se complicando ainda mais na execução.

· Agora, execute a estratégia.

· Ao executar a estratégia, verifique cada passo. Você consegue mostrar claramente que cada uma delas estão corretas?

4) REVISE OU CONFIRME SUA RESPOSTA (RETROSPECTO)

Tão importante, quanto as etapas anteriores é examinar a solução obtida.

Verifique se o resultado e o argumento estão corretos.

Se ficou dúvidas, veja se talvez você poderia obter a solução de um outro modo?

Pense como foi a essência do problema e do método de resolução empregado. Em particular, você conseguiria usar o resultado, ou o método, em algum outro problema? Pense nisso!

Exemplo prático:

Para ilustrar alguns pontos tratados neste conteúdo, tente resolver o seguinte problema: Calcular a diagonal de um paralelepípedo retângulo, do qual são conhecidos o comprimento, a largura e a altura.

Solução:

1. Leia e compreenda o problema, fazendo as seguintes anotações e indagações:

a) Qual é a incógnita? - O comprimento da diagonal de um paralelepípedo.

b) Quais são os dados? Temos; o comprimento, a largura e a altura dele.

c) Qual letra vamos colocar para a incógnita(diagonal)? - Coloquemos x por exemplo.

d) E, quais letras vamos colocar para o comprimento, largura e altura do paralelepípedo? - Coloquemos respectivamente: a, b, c.

e) Qual a condição que relaciona a, b, c, com x?  Sabemos que x é a diagonal do paralelepípedo no qual a, b, c são respectivamente o comprimento, largura e altura do paralelepípedo.

Nota: Podemos agora fazer até o esboço de uma fígura no papel e entender o problema, se conhecermos a, b e c, então conhecemos o paralelepípedo e falta apenas achar a diagonal x. 

Esboço do problema.

2. Como já esboçamos e conhecemos o paralelepípedo, devemos agora traçar um plano para chegarmos ao valor de x ou de sua diagonal.

Devemos saber se já nos deparamos com algum problema parecido, ou seja, se já resolvemos alguma diagonal pelo teorema de Pitágoras e se poderia utilizá-lo aqui. Podemos verificar que existe muitos triângulos retângulos na figura e que podemos visualizar um deles em que a diagonal x é a hipotenusa dele.

Uma ideia então seria dividir o problema em duas partes com dois triângulos retângulos como segue na execução do plano a seguir.

3. Então, basta agora esboçar os dois triângulos chaves para a resolução do problema conforme visualizamos abaixo:  Vamos usar a letra d para indicar a hipotenusa do triângulo da base do paralelepípedo.

Plano para achar o valor x do paralelpépedo.

Agora, vamos executar o plano, onde podemos aplicar o teorema de Pitágoras e achar o valor d e em seguida x.

Então teremos: (I) d² = a² + b² e (II) x² = d² + c²

Substituindo d² em II, teremos: x² = a² + b² + c²  ou:

4. Na última fase, podemos verificar se a resposta está correta?

Para isto, temos várias maneiras de testar, desde rever todas as contas que foram feitas anteriormente.  Mas, vamos apurar atribuindo valores para a, b e c, e verificar o valor da diagonal x.

Por exemplo se a=b=c= 10 cm, então x= raiz quadrada de 300 ou x = 10raiz quadrada de 3 que vale x = 10.1,73 = 17,32 cm, então voltando para o triângulo retântulo da direita acima, temos que: 17,32² = 10² + d²  

→ d² = 17,32² - 10² → d² = 299,98 - 100 = 199,98 → d = 14,14

Então, se aplicarmos o valor de d no triângulo retângulo da esquerda acima, teremos:

14,14² = 10² + 10² →199,93 =~ 200, que confere com nossa teoria e confirma a resposta encontrada.

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