Como Resolver Equações do 2º Grau pelo Método Geométrico de Completar Quadrados?

Resolução de Equações do Segundo Grau pelo Método Geométrico de Completar Quadrados

Com certeza você já deve ter visto e estudado uma equação do segundo grau e talvez já tenha conhecimento da fórmula de Bhaskara, que é o mais famoso método de resolvê-la ou achar as suas raízes, isto quando ela forem possíveis. Revisando o conteúdo que trata da equação do segundo grau, informamos que ela é uma equação do tipo: ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes reais, sendo que "a" deve ser um número diferente de zero e enquanto que x é a variável desta equação. 

Resolver uma equação do segundo grau, significa acharmos as suas raízes reais, ou seja o(s) valor(es) que, quando colocados no lugar da letra ou incógnita x fazem com que a equação tenha valor zero, por isso dizemos também que estes valores de x são os zeros ou raízes da equação.  Uma equação do segundo grau pode ter uma, duas raízes, ou mesmo não ter nenhuma raiz real, mas se você quiser acompanhar um estudo mais aprofundado do tema, recomendamos acessar nosso post publicado aqui chamado por: Equação do Segundo Grau e se inteirar deste conteúdo.

Existem vários métodos práticos para se solucionar uma equação quadrática ou do segundo grau, e que você talvez já tenha os estudado, como por exemplo: método de Bhaskara que já mencionamos, usando a soma e produto, entre outros procedimentos práticos. 

Talvez, um dos mais simples e esclarecedores que conhecemos seja o uso desse método geométrico de completar os quadrados e que veremos detalhadamente nesta matéria. 

Este método é muito simples, porém você deve seguir as seguintes etapas para ele funcionar corretamente e encontrar a solução, ou seja achar os valores de suas raízes, caso existam:

Para isso, vamos elucidar as etapas deste método, propondo encontrar a solução para a equação 2x² + 24x + 40 = 0. Vamos seguir então os seguintes passos ou etapas:

1) A primeira etapa é analisar o valor do número do coeficiente que está multiplicando o termo x² atentando que:

• Se o número for diferente de 1, dividiremos ambos os membros da equação por este número para transformá-la numa equação com coeficiente do x² igual a 1;
• Se o número for igual a 1, não precisaremos fazer nenhuma modificação ou transformação na equação e passamos para a próxima etapa.

No nosso caso, o número que está multiplicando o x² na equação é igual a 2, então vamos dividir os dois membros da equação por este número, ou seja:

(2x² + 24x + 40)/2 = 0/2 →  x² + 12x + 20 =0

2) A segunda etapa, consiste em adicionar a ambos os lados da equação pelo quadrado da metade do número que está multiplicando o termo "x" da nossa equação. O número que está multiplicando o termo "x" da equação é igual a 12. Para acharmos o quadrado da metade desse número, basta dividirmos ele por 2 e depois elevar o resultado ao quadrado. Veja como você deve fazer:

12/2 = 6 → 6² = 36

Descobrimos então que o quadrado da metade de 12 vale 36. Então, vamos adicionar este número a ambos os membros da nossa equação, como sugere a segunda etapa. Veja, como a nossa equação deve ficar:

X² + 12x + 36 + 20 = 0 + 36

Agora, é que vem a parte mais interessante deste processo. Quando adicionamos o quadrado da metade do termo que multiplica o "x" a ambos os membros da nossa equação, transformamos o primeiro membro dela em um trinômio quadrado perfeito. Observe como ficou nossa equação:

(X² + 12x + 36) +20 = 36

Como sabemos, o termo que está destacado e entre parênteses acima é um trinômio do quadrado perfeito, que pode ser expresso da seguinte maneira:

Veja que:  X² + 12x + 36 = (x + 6)²

Nota: Se tiver dúvidas sobre o assunto, recomendamos acessar nosso post chamado: Produtos Notáveis! 

Substituindo essa expressão na equação temos que: 

(X² + 12x + 36) +20 = 36  →  (x + 6)² + 20 = 36  

→ (x + 6)² = 36 – 20  →  (x + 6)² = 16  

→( x + 6) = raiz quadrada de 16 → x + 6 = ± 4, então temos 2 opções: 

→ x + 6 = 4 → x1 = 4 – 6 = -2  ou x + 6 = -4 → x2 = -4 - 6 = -10

Portanto, a nossa equação: 2x² + 24x + 40 = 0 tem como raízes ou solução, os números: -2 e -10

Importante: O método ora descrito acima e que é composto pelas etapas discutidas acima, são aplicáveis a toda e qualquer equação do 2º grau, sendo uma alternativa viável para a resolução deste tipo de equação.

Enfatizamos também que na matemática só se aprende treinando e fazendo muitos exercícios, por isso sugerimos a você procurar realizar o máximo possível de exercícios sobre o uso do método ora proposto.  Se quiser sugerir, acrescentar, elogiar ou criticar, acesse o espaço para comentários abaixo e deixe sua opinião.  Desde já agradecemos sua visita e seu parecer. Muito Obrigado! 

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