Análise Combinatória

A Análise Combinatória é um conteúdo da matemática e da lógica, que é responsável pela análise e contagem de todas possibilidades envolvendo os arranjos e combinações entre os elementos de um certo conjunto.

Por exemplo, sabe aquela festa que você vai participar e que quando está se arrumando, dispõe de várias blusas e vestidos, entre outras peças, para fazer sua escolha, embora não saiba, isso envolve a análise combinatória. Veja alguns problemas que poderão ser resolvidos utilizando-se da análise combinatória:

1) Se quiser saber quantos números de quatro algarismos distintos são formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória, para chegarmos ao total de combinações possíveis, pois a contagem manual disto é praticamente impossível ou requer muito tempo neste processo.

2) Se um homem possui cinco camisas, quatro gravatas, três jaquetas e dois pares de sapatos. De quantas maneiras diferentes ele poderá se vestir? Para saber todas as combinações é necessário utilizar também das propriedades da análise combinatória.

3) Você e seus colegas de empresa, reuniram-se e apostaram várias cartelas na mega-sena e não ganharam nenhum prêmio. Se quisesse calcular quantas maneiras teriam para apostar, seria necessário usar da análise combinatória.

Para efetuar os cálculos desses e outros problemas  que envolvem a contagem de possibilidades, devemos estudar algumas propriedades da análise combinatória, tais como:

- Fatorial

- Princípio fundamental da contagem

- Arranjos simples

- Permutação simples

- Combinação

- Outras

Importante: O estudo das possibilidades está diretamente ligado ao cálculo das probabilidades e neste Blog você vai encontrar dois conteúdos interessantes envolvendo o assunto, para acessar clique aqui! 

Fatorial

O fatorial de um número n, que representamos por n!, onde n pertence ao conjunto dos números naturais é sempre o produto de todos os seus números antecessores, incluindo a si próprio e excluindo-se o zero. 

Exemplo de número fatorial:

6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

Notas: 

a) n>= 0 (n é um número maior ou igual a zero) , ou seja, não existe fatorial para números negativos.

b) Por definição, o fatorial de 0, é escrito como: 0! e vale 1 e fatorial de 1, escreve-se 1! = 1.

Quando consideramos o fatorial como um número n, ele pode ser escrito de muitas formas, tais como:

n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3)!

n! = n. (n-1)!

Mas, atenção, as seguintes operações NÃO são válidas:

n! + x! = (n+x)!

n! - x! = (n-x)! 

n! . x! = (n.x)!

Exemplos:

1) Quanto vale 6!?

A resposta é 6.5.4.3.2.1 = 720

Mas, podemos escrever: 6! = 6.(6-1).(6-2).(6-3)!

Ou: 6! = 6.5.4.3!

Ou: 6! = 120.3!

Ou: 6! = 120.3.(3-1).(3-2)!

Ou: 6! = 120.3.2.1!

Ou: 6! = 120.6 = 720

2) 11! / 8!

Solução: 11.10.9.8! / 8! = 11.10.9 = 990

3) 4!.7! / 9!.3!

Solução: 4.3! . 7! / 9.8.7! . 3! = 4 / 9.8 = 4/72 = 1/18

4) (n+2)! / (n-1)!

Solução:

(n+2)(n+1)n(n-1)! / (n-1)! =  (n+2)(n+1)n

Principio fundamental da contagem

Com o princípio fundamental da contagem, podemos determinar quantas vezes, de modo diferente, um acontecimento poderá ocorrer.

Se um primeiro acontecimento ocorre p1 vezes, um segundo p2 vezes, até que o enésimo acontecimento, ocorre pn vezes, de modos diferentes, sendo os n acontecimentos independentes, então o número de vezes que os n acontecimentos ocorrem vale: p1.p2.p3. ... .pn

Exemplos:

1) Para ir da cidade A até a cidade C, se obrigatoriamente tivermos que passar pela cidade B. E, sabendo-se que três cias de ônibus cobrem o percurso ente A e B, enquanto que duas cias fazem o percurso entre B e C. De quantos modos diferentes podemos ir da cidade A até a C?

Solução:

O 1º acontecimento pode ocorrer de 3 modos diferentes, enquanto que o 2º de 2 modos diferentes. Assim, o número de vezes que os dois acontecimentos podem ocorrer é 3.2 = 6 que é chamado também por: Princípio Multiplicativo!

2) Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante, tendo disponível 3 tipos de arroz, 2 tipos de feijão, 3 tipos de macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerantes, sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento?

Solução:

A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18 , somente para a comida. Como o cliente não pode pedir cerveja e refrigerantes juntos, então não podemos multiplicar as opções de refrigerante pelas opções de cerveja. O que devemos fazer aqui é apenas somar essas possibilidades:

(3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90

Então, a resposta para o problema é: Existem 90 possibilidades de pratos que podem ser montados com as comidas e bebidas disponíveis.

3) No sistema brasileiro de placas usadas nos veículos, cada placa é formada por três letras e quatro algarismos. Quantas placas, onde o número formado pelos algarismos seja par, podem ser formadas?

Solução:

Primeiro, temos de saber que existem 26 letras do alfabeto para uso. Segundo, para que o numero formado seja par, teremos de limitar o ultimo algarismo à um numero par. Depois, basta multiplicar.

26 x 26 x 26 = 17.576 -> parte das letras

10 x 10 x 10 x 5 = 5.000 -> parte dos algarismos, note que na última casa temos apenas 5 possibilidades, pois queremos um número par (0 , 2 , 4 , 6 , 8).

Agora é só multiplicar as partes: 17.576 x 5.000 = 87.880.000

Então, a resposta para a questão: existem 87.880.000 placas, que são todas as placas com um número par.

Arranjos Simples

Arranjos simples são aqueles agrupamentos, nos quais a ordem dos seus elementos faz diferença. Exemplo: Números: 123 # 321 #132 # 213 ... 

A fórmula geral usada para acharmos todos os arranjos simples é dada por:

An,p = n! / (n-p)!

Na fórmula acima, estamos considerando n como a quantidade de elementos de um conjunto qualquer e p um número natural menor ou igual a n, então  p será a classe ou a ordem do arranjo. 

Por exemplo, quais são os números de três algarismos formados pelos elementos { 1, 2 e 3 }?

Solução: {312, 321, 132, 123, 213, 231}

ou somente para saber a quantidade de arranjos diferentes, usamos: 

Neste caso n=p=3

A3,3  = 3! / 3-3)! = 3! / 0! = 3!/1  = 3.2.1 / 1 = 6

Importante: Esse agrupamento é um arranjo simples, pois os elementos não se repetem, e a ordem dos elementos 1, 2 e 3 diferem.

Veja outros exemplos abaixo:

1) Dado o conjunto B = {5,6,7}, veja os possíveis agrupamentos formados com 2 elementos de B.

A3,2 = 3! / (3-2)! = 6/1 = 6

Confira as possibilidades na figura abaixo:

Verifique que, os agrupamentos formados com 2 elementos do conjunto B são: 56, 57, 65, 67, 75, 76. E, esse agrupamento é formado por arranjos simples pelos elementos do conjunto B.

Nota: 

a) Se em um agrupamento compararmos os arranjos simples formados perceberemos que eles se diferem de duas maneiras diferentes: pela ordem de seus elementos ou pela natureza de seus elementos.

b) Por exemplo: Se compararmos os arranjos 56 e 65 do exemplo anterior, perceberemos que eles são diferentes pela ordem dos seus elementos.

c) Se compararmos os arranjos 75 e 76 do exemplo anterior, perceberemos que eles são diferentes pela natureza de seus elementos, pois são números diferentes.

2) Quantos palavras de 2 letras diferentes, com ou sem sentido, podemos formar com as primeiro quatro letras do alfabeto?

Solução:

A 4,2 = 4! / (4-2)!

A 4,2 = 4!/2! = 4.3 = 12  palavras.

São elas:

AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC

3) Quantas “palavras” (com sentido ou não) de 5 letras distintas podemos formar com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto?
Não é necessário montar todos os arranjos possíveis para saber a sua quantidade, basta aplicar a fórmula:

A _{n , p} =    n!
              (n – p)!

Sendo que o conjunto é formado por 20 elementos (n = 20) que serão unidos de 5 em 5 (p = 5). Substituindo os valores na fórmula, temos que:

A20,5 = 20! / 15! = 20.19.18.17.16 = 1860480

Portanto, a quantidade de arranjos formados com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto unidas de 5 em 5 é 1860480.

Permutação simples

Consideramos a permutação simples, como um caso particular de arranjo simples, onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem. Então, teremos que n=p.

Exemplificando: As permutações simples formadas com os elementos P, Q e R são: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP.

Podemos determinar o número de agrupamentos de uma permutação simples utilizando a seguinte expressão:

P = n!, onde n! = n.(n-1).(n-2).(n-3). ... .3.2.1

Por exemplo:

1) Quantos números podem ser formados com 4 algarismos diferentes?

A4,4 = 4! /0! = 24 ou 4! = 4.3.2.1 = 24

2) Quantos anagramas pode-se formar com a palavra sapo?

Resolução:

Podemos variar as letras de lugar e formar vários anagramas, formulando um caso de permutação simples.

P = 4! = 24

3) De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Marta, Carla, Maria, Paula e Josefa para a produção de um book ou álbum de fotografias promocionais?

Resolução:

Note que o princípio a ser utilizado na organização das modelos será o da permutação simples, pois formaremos agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem dos elementos.

P = n!

P = 5!

P = 5.4.3.2.1

P = 120

Portanto, o número de maneiras possíveis é 120.

4) De quantas maneiras distintas e em qualquer ordem, podemos colocar em fila indiana 2 homens e 2 mulheres:

Resolução

Podemos organizar as 4 pessoas de forma distinta, portanto utilizamos

4! = 4.3.2.1 = 24  possibilidades

Provando: Se as mulheres forem A e B e os homens C e D, então:

Possibilidades: ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA.

Combinação Simples

Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. São arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Portanto, se temos um conjunto A, formado por n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de A que é formado por p elementos será uma combinação, dada pela seguinte expressão:

Cn,p = n! / p! (n-p)!

Por exemplo, considere um conjunto com 3 pessoas A, B e C, as quais formaram comissões compostas por 2 pessoas ou que serão tomados 2 a 2:

C3,2 = 3! / 2!(3-2) = 3! / 2!1! = 6 / 2 = 3

São elas: AB, AC, BC

Note que AB = BA, AC = CA, BC = CB.

Exemplos:

a) As aplicações usando da combinação simples são muitas mas, a mais conhecida está aplicada nas loterias ou jogos de azar como: mega-sena, quina entre outros sorteios. O jogo oficial da CEF(Caixa Econômica Federal) chamado mega-sena consiste em que numa cartela, com o total de 60 números possíveis, dentre os quais devemos escolher apenas 6, que serão sorteados aleatoriamente, para sorteio do prêmio principal.

Então, supondo que tenhamos escolhido aleatoriamente 6 números, temos uma combinação onde n = 60 e p = 6, sessenta números, tomados seis a seis. Calculando o número de combinações, temos:

Solução:

C60,6 = 60! / 6!(60-6)! = 60! / 6!54! = 60.59.58.57.56.55.54! / 6.5.4.3.2.1.54!

→ C60,6 = 60.59.58.57.56.55 / 720 = 36045979200/720 = 50.063.860
Logo, concluímos que na mega-sena, existem 50.063.860 combinações, caso sejam tomadas seis a seis, ou que sejam escolhidos apenas 6 números dentre os 60 possíveis.

b) Num curso de língua estrangeira, onde estudam vinte alunos. O coordenador do curso quer formar um grupo de três alunos, para realizar um intercâmbio em outro país. Quantas possíveis equipes podem ser formadas? 

Resolução: 

O número de possíveis grupos pode ser dado pela expressão:

C20,3 = 20! / 3!(20-3)! = 20! / 3!17! = 20.19.18.17! / 3.2.117! = 20.19.18/6

→ C20,3 = 6840/6 = 1140 equipes.

Conclusão: 

Existem muitos outras propriedades e temas pertinentes e que são estudadas em Análise Combinatória, mas que não serão abordadas por hora, porque tomaria muito espaço nesta postagem. É de nossa inteira vontade, voltar ao tema, numa outra oportunidade, para continuar com novas abordagens, inclusive formulando exercícios num grau maior de dificuldades, para fixação do conteúdo aqui disponibilizado. Portanto, se você ainda não estiver nos seguindo, recomendamos que o faça de imediato, para não perder nossos novos conteúdos pertinentes. Se você tiver interesse no tema Probabilidades que está fortemente vinculado ao assunto, clique aqui para acessar e garantimos que vai encontrar muitas aplicações deste nosso estudo aqui tratado.

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