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sábado, 25 de julho de 2015

Probabilidade Condicional

Probabilidade Condicional
A probabilidade condicional aborda um tipo específico de probabilidade, no qual você conhece de antemão um evento que já aconteceu e quer saber as chances de um outro acontecer. Para compreender este conteúdo corretamente é necessário dominar o tema probabilidade, o qual sugerimos que você acesse aqui mesmo em nosso blog, leia e se inteire dele. Se considerarmos dois eventos NÃO VAZIOS, A e B de um espaço amostral S, queremos saber então, a probabilidade de um evento A ocorrer, dado que um outro evento B ocorreu anteriormente.

Para este tipo de ocorrência denominamos probabilidade condicional do evento A dado o evento B e a sua notação fica assim: P(A/B), e lemos: probabilidade de A dado B.

Exemplos onde ocorrem a probabilidade condicional:
1) Qual a probabilidade de que uma pessoa venha a contrair o vírus da AIDS, dado que ele ou ela seja um usuário de drogas injetáveis?; 

2) Num estudo sobre a distribuição de panfletos em um supermercado, no qual contém uma mensagem sobre o cuidado de depositar o lixo no lixo, e que desejamos calcular a probabilidade de que este panfleto de propaganda seja jogado no lixo; 

3) Se jogamos um dado cúbico não viciado enumerado com as faces de 1 a 6, e verificando-se o número da face do lado de cima, e sabendo-se que ocorreu números pares, qual a probabilidade de sair um número menor que 3.

Nota:
Estas questões podem ser resolvidas de várias maneiras, sendo que em uma delas, pode ser efetuada pela fórmula de Laplace que é P(A) = n(A  B)/n(B), considerando S como o espaço amostral, enquanto que A e B são eventos deste espaço amostral S e, em seguida usando o mesmo recurso para calcular a probabilidade pedida e que já foi estudada aqui neste blog, ou usando-se a fórmula abaixo para facilitar sua resolução.
Veja um exemplo prático:
Queremos saber qual a probabilidade de sair a face 1, no lançamento de um dado cúbico não equilibrado, sabendo-se que ocorreu faces menores do que o número 4.
Solução: usando a fórmula de Laplace, temos que:
1. O espaço amostral S vale {1,2,3,4,5,6}
2. O evento A= {Sair face 1} → P(A)= 1/6
3. O evento B= {Ocorreu faces menores que 4} = {1,2,3} → P(B) = 3/6
4. (A  B) = {1}
4. P(A/B) = n(A  B)/n(B) = 1/3

Fórmula Prática da Probabilidade Condicional

EXERCÍCIOS:






1) No lançamento de um dado cúbico equilibrado, com faces de 1 a 6 e observando-se o número da face voltada para cima. Sabendo-se que saiu números pares, qual a probabilidade de ocorrer o número 2 na face superior?
Solução:
A= {sair o número 2}
B= {sair números pares} → B= {2, 4, 6}
P(A/B) = P(A  B)/P(B)
P(A/B) = 1/3

2) No lançamento de duas moedas não viciadas simultaneamente, qual seria a probabilidade de ocorrer cara nas duas moedas, sabendo-se de antemão que ocorreram faces iguais? 
S = {cc, ck, kk, kc}, onde c=cara e k=coroa
A= {Ocorrer: cc} 
B= {ocorreu faces iguais ou: cc, kk} 
P(A/B) = P(A∩B)/ P(B) = 1/2


3) Em uma urna são colocadas 9 bolas numeradas de 1 a 9. Ao se retirar aleatoriamente uma bola dessa urna sem reposição, verifica-se que seu número é par. Calcule a probabilidade de que a bola sorteada tenha um número menor que 5.

Solução:
S={1,2,3, ..., 9}
A={1,2,3,4}
B={2,4,6,8}
(A  B) = {2,4}
P(A/B) = P(A  B)/P(B) = 2/4 = 1/2 = 0,5 =50%

4) Uma certa máquina desregulada produz peças perfeitas e defeituosas. Certo lote de 12 peças apresentou 4 peças defeituosas e 8 perfeitas. Se retirarmos aleatoriamente 2 peças desse lote sem reposição, qual a probabilidade de que a 1ª peça seja perfeita e a 2ª ser:
a) defeituosa                                                 b) perfeita
Solução:
S= {4 peças defeituosas+8 perfeitas}
A= {retirar a 1ª peça e ela ser perfeita} ={8 peças perfeitas}
P(A) = 8/12 = 2/3

a) S={4 peças defeituosas+7 perfeitas} (note que já foi retirada uma bola perfeita do espaço amostral S)

B={a 2ª peça ser defeituosa} = {4 peças defeituosas}
P(B) = 4/11
P(B/A) = P(B).P(A) = 4/11 . 2/3 = 8/33 = 24,2%

b) S={4 peças defeituosas+7 perfeitas} 
C={a 2ª bola ser perfeita}
P(C) = 7/11
P(C/A) = P(C).P(A) = 7/11 . 2/3 = 14/33 = 42,4%


5) Ao se jogar um dado, verificou-se que foi obtida face com número maior que 2.  Qual é a probabilidade desse número ser primo?
Solução:
S= {1,2,3,4,5,6}
A= {face com número maior que 2} = {3,4,5,6}
B= {número da face de um dado ser primo} = {2,3,5}
P(B/A) = P(B∩A)/P(A) = 2/4 = 1/2 =50%


6) No lançamento simultâneo de dois dados cúbicos, qual a probabilidade de aparecerem faces com números ímpares, sendo que a soma seja 8?
Solução:
S= {(1,1) (1,2), ...(1,6), (2,1) (2,2), ... (2,6) ...(6,1) (6,2) ... (6,6)} →
n(S) =36 
A= {soma ser igual a 8} = {(2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2)} → n(A) = 5
B= {faces com números ímpares} ={(1,1) (1,3) ... (5,5)} 
P(B/A) = P(B∩A)/P(A) = 2/5 = 40%

Atenção:
1. Se você quiser saber mais sobre o tema probabilidades, sugerimos também acessar o conteúdo chamado: Probabilidades Matemática Muito Interessantes!;

2. Se você quiser  continuar os estudos sobre o tema, acesse o post: Distribuição Binominal, e também se cadastre no blog como seguidor para não perder nossas próximas matérias;

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