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sexta-feira, 7 de agosto de 2015

Distribuição Binomial e Probabilidade!

Definição: A distribuição binomial é um modelo muito prático utilizado em cálculos de probabilidade, para sucessões de experimentos aleatórios independentes, em que em cada um dos quais, observamos a ocorrência de "sucesso" ou "fracasso" de um determinado acontecimento de probabilidade "p" ocorrido em "n" provas.

Em notação científica, podemos escrever que:
  • f(x) = P(x=k) = C(n,k).p^k.q^n-k, onde: P(x=k) é a probabilidade de que o evento se realize k vezes em n provas.
  • p = ocorre o sucesso.
  • q = ocorre o fracasso.
  • p+q = 1 → q = 1-p
  • C(n,k) = combinação de n elementos, tomados k a k e ainda: (n,k) = n! / k!(n-k)!, sendo n>=k.
  • n! = n(n-1)(n-2) ... 3.2.1
Observações: 
1. Se tiver dúvidas como resolver fatoriais, combinações simples, e demais assuntos correlatos, acesse nosso post chamado: Análise Combinatória;  
2. É recomendável ao leitor também ter noções elementares de probabilidade, para poder acompanhar este estudo de forma adequada, então sugerimos, antes de seguir seus estudos, acessar e se inteirar de nossa matéria chamada: Probabilidades;  

EXERCÍCIOS:





1) Uma moeda equilibrada é lançada 5 vezes, calcule a probabilidade de ocorrer 3 coroas?
Solução:
Devemos aplicar a fórmula: P(x=k) = C(n,k).p.n^k.q^(n-k)
Então: Vamos definir quem são: n, k, p, q.
n=5   k=3  p=probabilidade de ocorrer coroa no lçto.de 1 moeda = 1/2
q=probabilidade de não ocorrer coroa no lançamento de 1 moeda = 1/2
Então:
P =C(5,3).(1/2)^3.(1/2)^5-3 =  C(5,3).(1/2)^3.(1/2)^2 
P = 5! / 3!(5-3)! . 1/8 . 1/4 = 5! / 3!(2)! . 1/8 . 1/4 = 5.4.3! /3!2! . 1/32
P = 20/2 . 1/32 = 20/64 = 5/16 = 0,3125 = 31,25%

2) Um dado cúbico não viciado é lançado 3 vezes, calcule a probabilidade de ocorrer duas vezes a face 6?
Solução:
Devemos aplicar a fórmula: P(x=k) = C(n,k).p.n^k.q^(n-k)
Então: Vamos definir quem são: n, k, p, q.
n=3   k=2  p=probabilidade de ocorrer o número 6 = 1/6
q=probabilidade de não ocorrer o número face 6 = 5/6 (resultado de 1 - 1/6)
Então:
P = C(3,2).(1/6)^2.(5/6)^3-2 = C(3,2).(1/6)^2.(5/6)^1 
P = 3! / 2!1! . 1/36 . 5/6 = 3.1 / 36 = 3/36 = 1/12 = 0,08 = 8%

3) Dois times A e B jogam entre si por 6 vezes. Encontre a probabilidade do time A ganhar exatamente 4 jogos?
Solução:
Devemos aplicar a fórmula: P(x=k) = C(n,k).p.n^k.q^(n-k)
Então: Vamos definir quem são: n, k, p, q.
n=6,  k=4,   p=probabilidade do time A ganhar = 1/3 (ganhar,perder,empatar)
q=probabilidade de não ganhar = 2/3 (perder,empatar)
Então:
P = C(6,4).(1/3)^4.(2/3)^6-4 =  C(6,4).(1/3)^4 . (2/3)^2 
P = 6! / 4! 2! . 1/81 . 4/9 = 6.5 / 2 . 4/729 = 15 . 4/729 = 60/729 =20/243 → P= 0,08 = 8%

4) O time do Palmeiras num campeonato tinha 4/5 de probabilidade de vitória sempre que jogava em sua casa.  Então, se ele jogar 20 partidas em casa, calcule a probabilidade dele vencer exatamente 15 jogos?
Solução:
Devemos aplicar a fórmula: P(x=k) = C(n,k).p.n^k.q^(n-k)
Então: Vamos definir quem são: n, k, p, q.
n=20   k=15  p=probabilidade de vencer em casa = 4/5 = 0,8
q=probabilidade de não vencer em casa = 1/5 = 0,2
Então:
P =C(20,15).(0,8)^15 .(0,2)^20-15 =  C(20,15).(0,8)^15.(0,2)^5 
P = (20.19.18.17.16.15! / 15!.5!).0,035.0,0003 =  (20.19.18.17.16 /120). 0,035.0,0003 = 1860480/120 . 0,000011 = 15504 . 0,000011 = 0,17 = 17%
P= 1860480/120 . 0,000009 = 15504 . 0,000009 = 0,13

5) Se você vai fazer um concurso, cujo teste tenha 10 questões com 5 alternativas, sendo apenas 1 a correta e você não estudou e pretende marcar aleatoriamente uma alternativa em cada questão em todas 10 perguntas do teste. Então, qual sua chance de acertar 6 questões nesta prova?
Solução:
Devemos aplicar a fórmula: P(x=k) = C(n,k).p.n^k.q^(n-k)
Então: Vamos definir quem são: n, k, p, q.
n=10   k=6  p=probabilidade de acerto em cada questão = 1/5 = 0,2
q=probabilidade de não acertar cada questão = 4/5 = 0,8
Então:
P =C(10,6).(0,2)^6 .(0,8)^10-6 =  C(10,6).(0,2)^6.(0,8)^4 →
P = 10! / 6!4! . 0,000064 . 0,4096 = 10.9.8.7 / 24 . 0,000026 →
P= 5040/24 .0,000026 = 210.0,000026 = 0,0054 = 0,54%

6) Em um bairro da periferia de uma cidade, a necessidade de dinheiro para se comprar drogas é a razão para que 75% dos roubos ocorram. Determine a probabilidade que, entre os 10 próximos roubos ocorridos neste bairro, exatamente 6 deles se dê para a compra de drogas?
Solução:
Devemos aplicar a fórmula: P(x=k) = C(n,k).p.n^k.q^(n-k)
Então: Vamos definir quem são: n, k, p, q.
n=10   k=6  p=probabilidade de ocorrer roubo = 0,75
q=probabilidade de não roubo = 0,25
Então:
P =C(10,6).(0,75)^6 .(0,25)^10-6 =  C(10,6).(0,75)^6.(0,25)^4
P = 10.9.8.7.6! / 6!4! . 0,1779 . 0,0039 = 5040/24 . 0,000694 = 210.0,000694 P = 0,145 = 14,5%  

7) Uma estatística efetuada com os moradores de certa cidade revelou que 30% de seus habitantes estão em atraso com impostos na prefeitura local. Selecionando-se aleatoriamente 7 moradores desta cidade, determine a probabilidade de que exatamente 5 deles encontram-se em dia com seus impostos?
Solução:
Devemos aplicar a fórmula: P(x=k) = C(n,k).p.n^k.q^(n-k)
Então: Vamos definir quem são: n, k, p, q.
n=7   k=5  p=probabilidade de não estar devendo= 0,7
q=probabilidade de estar inadimplente = 0,3
Então:
P =C(7,5).(0,7)^5 .(0,3)^7-5 =  C(7,5).(0,7)^5.(0,3)^2 → 
P= 7.6.5!/5!2! . 0,1680 . 0,09 = 42/2 . 0,01512 = 21.0,1512 = 0,317 = 31,7% 

Atenção:
1) Este conteúdo foi abordado, como uma continuação de nossos estudos envolvendo os temas Probabilidade e Análise Combinatória, então não deixe de acessar estas postagens e se inteirar das matérias já publicadas anteriormente aqui neste blog
2) Se gostou do material e quiser compartilhar com seus amigos, use os atalhos das redes sociais, localizados ao final do post.
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