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sexta-feira, 28 de agosto de 2015

Mágicas da Matemática com os Números de Fibonacci!

Atividade usando mágicas da Matemática com os números de Fibonacci!
Com este artigo, queremos realizar uma brincadeira em forma de mágicas matemáticas, com nossos leitores, e também com você professor, para ser utilizada como uma atividade matemática, para ser aplicada junto de seus alunos, em sala de aula. O objetivo desta matéria é aguçar a curiosidade de todos e propiciar motivação para uma abordagem de temas matemáticos importantes como: teoria dos números, estudo da sequência de Fibonacci e questões de convergência, entre outros temas a seu critério.  Trata-se de duas mágicas muito simples e fácil de serem aplicadas, enfatizando que sempre quando as utilizamos, obtivemos resultados expressivos em termos de motivação e participação dos alunos envolvidos.

Em que consiste tal brincadeira?
Para realizar esta brincadeira, você vai precisar de uma folha de papel em branco para cada participante, com dez linhas em branco, numeradas de 1 a 10 e um lápis ou caneta para escrever as sugestões e operações aritméticas, ao lado de cada número. Pedimos aos alunos e também ao nosso leitor interessado, que escrevam dois números inteiros, por exemplo, entre 1 e 20, usando a 1ª linha e 2ª linha, sendo um em cada posição, à sua escolha. Após serem efetuadas as duas escolhas aleatórias, eles deverão completar a tabela, com a soma dos dois números anteriores e assim sucessivamente até completar as 10 linhas numeradas, conforme exemplo na tabela abaixo. 

Veja como deve ficar nossa tabela, com os números: 2 e 5 escolhidos aleatoriamente entre 1 a 20:





1
2
2
5
3
7
4
12
5
19
6
31
7
50
8
81
9
131
10
212


1ª Mágica!

Depois que todos já construíram suas tabelas como a que vemos acima, pergunte a todos:


- Qual a soma dos dez números contidos na 2ª coluna de sua tabela?

Antes que eles terminem a soma e mesmo sem conhecer os dois números escolhidos no início, é possível sabermos qual sua soma, desde que estes forneçam o 7º número da lista, pois é só multiplicar ele por 11, como em nossa tabela: 50x11 = 550, logo a soma de 2+5+...+212 = 550. Garantimos que todos vão ficar surpresos com o fato, mas ainda temos mais mistérios a desvendar, como a seguir.

2ª Mágica!
Podemos adivinhar o resultado da divisão dos valores da linha 10 pela linha 9, com duas casas decimais, e desta feita, mesmo sem o conhecimento de quaisquer números das listas preenchidas por seus alunos, pois sempre o resultado deverá ser igual a 1,61, quaisquer que sejam os dois números inteiros escolhidos no início desta brincadeira.
No nosso caso, basta fazer 212/131 = 1,6183206...

Provando porque a mágica funciona!
1) Sejam x e y os números escolhidos para as linhas 1 e 2, respectivamente. Os dez números da lista são os da tabela abaixo e sua soma total é 55x + 88y = 11(5x+8y), ou seja 11 vezes o elemento da sétima linha.
1
x
2
y
3
x + y
4
x + 2y
5
2x + 3y
6
3x + 5y
7
5x + 8y
8
8x + 13y
9
13x + 21y
10
21x + 34y

2) Para explicarmos a divisão da linha 10 pela linha 9, usaremos a seguinte propriedade P:
Se a, b, c e d são números positivos tais que a/b < c/d, então: a+c / b+d está entre a/b e c/d.

Provando P:
De a/b < c/d obtemos: ad < bc, que implica ab + ad < ab + bc, que após sua fatoração fica: a(b+d) < b(a+c).  Finalmente, dividindo ambos os membros por b(b+d), chega-se à desigualdade: a/b < a+c / b+d.  De modo análogo, provamos que a+c / b+d < c/d.

Mas, se voltarmos a nossa tabela, verificamos que: 
21/13 = 1,615384 e 34/21 = 1,619047.  Logo: 21/13 < 34/21 ou 21x / 13x < 34y / 21y.  Por P, o resultado da divisão 21x +34 y / 13x + 21y da linha 10 pela linha 9 estará entre os números 21/13 e 34/21, o que confirma que o quociente independe dos valores iniciais x e y e o seu valor com duas casas decimais sempre será 1,61.

Conclusão:
Nos dias atuais, em que é preciso motivar insistentemente nossos alunos para se interessarem e tomarem gosto pelos conteúdos de matemática, acreditamos que o artigo possa ser muito útil neste sentido. Ressaltamos que ele deve ser usado para motivar a introdução de estudos dos conteúdos mais aprofundados, como já citamos anteriormente.
Enfatizamos ainda, que em nosso site você vai encontrar muitos outros conteúdos recreativos da matemática, bastando acessar nosso marcador Recreações na Matemática, e garantimos que seus alunos vão se interessar e gostar muito das atividades sugeridas.
  
Esperamos que o leitor tenha gostado e se quiser compartilhar com seus amigos, pares e mesmo alunos, use os atalhos para as redes sociais ao final do post ou indique o endereço deste site aos mesmos.

Se ficou dúvidas, seja também para elogiar, criticar ou sugerir, use o espaço abaixo, destinados aos comentários, que postaremos a resposta no menor tempo possível.  Desde já, agradecemos sua visita e parecer. Muito obrigado!
  Baseado no artigo Mágica com números?, escrito por Lúcia Resende P.Bonfim UFU-MG, 
publicada na Revista do Professor de Matemática nº 66/2008
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