A Maior Pegadinha dos Concursos - Média Harmônica!

Você sabia que a média harmônica tem se transformado na maior pegadinha dos concursos públicos?

Muitos estudantes e mesmo alguns professores nunca ouviram falar sobre ela, apesar de sabermos que ela aplicada constantemente na Física e Matemática. As médias mais conhecidas por todos nós, são: a média aritmética e a geométrica, as quais com toda certeza, você já deve ter estudado. Para recordar, enfatizamos que elas podem ser deduzidas da seguinte forma:

Sejam os números reais a, b e c, positivos e distintos, então:

Se b = (a+c) / 2, então dizemos que b é a média aritmética de a e c;
ou ainda, se b = Öac, logo, dizemos que b é a média geométrica de a e c.

Atenção: 

a) Por ser um conteúdo pouco divulgado e poucas vezes aprendido de forma correta nas escolas, a média harmônica pode funcionar como uma verdadeira pegadinha da matemática e derruba muitos candidatos nos concursos públicos.

b) A média harmônica está relacionada ao cálculo matemático que envolve grandezas inversamente proporcionais, como nas relações entre velocidade e tempo, muito utilizadas em estudos de física.

c) Se você tiver alguma dúvida sobre medidas de tendência central, como as suas definições, aplicações, e demais considerações, acesse nossa matéria já divulgada aqui no blog, chamado: Média, Mediana e Moda e Resolução de Questões do ENEM!, onde vai encontrar tudo sobre o assunto, inclusive com muitos exercícios práticos e que inclusive já foram cobrados em provas do exame ENEM. 

Como deduzir a Média Harmônica?

Se considerarmos a expressão: (a-b)/(b-c) = a/c, onde a, b e c são números reais positivos e distintos e isolando o termo b, teremos então que:

(a-b)/(b-c) = a/c (multiplicando-se os termos em cruz);

(a-b).c = (b-c).a (fazendo a distributiva);

ac - bc = ba - ca (isolando-se o b no 1º membro);

-bc -ba = -ca - ca (multiplicando-se por -1);

bc + ba = ca + ca (colocando-se o b isolado);

b(c + a) = 2ca (fazendo ca = ac)

Logo, b = 2ac / (c+a) 

Então, dizemos que b é a Média Harmônica entre a e c.

Definição: Pela definição formal, se a e b são dois números reais positivos, dizemos que a média harmônica (MH) de a e b é o inverso da média aritmética dos inversos desses números, ou seja:

1/MH = (1/a = 1/b)/2 (multiplicando-se em cruz)

2 = MH (1/a +1/b)

2 = MH [(a+b) / ab]

2ab = MH (a+b)

MH = 2ab / (a+b)  → Então, concluímos que MH é a média harmônica entre a e b.

Historicamente, segundo alguns pesquisadores, a média harmônica já era conhecida desde os tempos dos babilônios, mas coube ao matemático grego "Pitágoras" que viveu por volta do ano 550 antes de cristo, a descoberta desta proporção, a qual teria ligação muito forte com o estudo da música.

Nota: Para conhecer uma pegadinha algébrica da matemática que também causa muita confusão e provoca erros infantis desta disciplina, acesse nosso post chamado: A pegadinha algébrica da Matemática!

Aplicação prática da Média Harmônica

Com certeza você deve estar se perguntando: Onde usamos isto? ou, Para que aprender isto?, Para que serve isto? Assim como você, muitos alunos têm nos questionado, onde usamos este número em termos práticos. Então, vamos apresentar abaixo, apenas dois exemplos de seu uso na prática cotidiana.

O problema das velocidades

1) O sr. José que é considerado um imprudente vendedor, costumava acordar cedo e viajar de carro de uma cidade A para outra B, com velocidade média de 120 km/h. Após visitar seus clientes e tomar com eles algumas cervejas, ele voltando de B para a cidade A, agora com a velocidade média de 60 km/h. Qual a velocidade média que ele desenvolveu no percurso total? 

Solução:

A ideia imediata diz que devemos somar as velocidades e dividir por 2, ou seja: 120+60 / 2 = 90 km/h que é incorreto, ou seja as vezes nossa intuição não está certa, como neste caso.

Vamos então ao cálculo correto, então:

Seja d a distância entre as cidade A e B, v1 a velocidade de ida, t1 o tempo na ida, v2 a velocidade da volta e t2 o tempo da volta.

Temos então que:

d = v1t1 = v2t2.

Considerando v como velocidade média no percurso todo, então:

2d = v(t1+t2) → 2d = v(d/v1 + d/v2). Simplificando:

v = 2v1v2 / (v1+v2)

Agora, substituindo os valores v1 = 120 km/h e v2 = 60 km/h, obtemos que:

v = 2(120.60)/(120+60)

v = 2.7200 / 180 = 14400 /180 = 80 km/h

Portanto, a velocidade média no percurso todo é a média harmônica das velocidades na ida e na volta.

Outra solução:
Basta você dividir a quantidade de termos pelo inverso deles, ou seja:
MH = 2 / (1/120 + 1/60) → MH = 2 / (3/120) = 2.120 / 3 = 240/3 = 80 km/h

2) Se fizemos uma viagem de carro até o litoral e desenvolvemos durante a metade do percurso uma velocidade média de 100 km/h, enquanto que no restante de nossa viagem pegamos uma estrada melhor e andamos na média de 120 km/h. Qual foi a velocidade média desenvolvida em todo nosso trajeto?
Solução:
Vamos usar o modo mais fácil para resolver:
MH = 2/ (1/100 + 1/120) → MH = 2/ [(6+5)/600)] = 2/ (11/600) = (2.600)/11
MH = 1200/11
MH = 109,09 km/h

Conclusão:

A média harmônica, embora seja um conceito pouco estudado atualmente nas escolas, ela é sempre muito cobrada em testes e provas de concursos e alguns vestibulares, e aparece em muitas questões que envolvem velocidades, vazões, frequências e taxas, etc.

Por isso, aconselhamos que você pesquise mais sobre ela, e não deixe de fazer outros exercícios para fixar o conteúdo ora aprendido.

Esperamos que tenha gostado do tema e que divulgue aos seus amigos e pares, para que eles também tenham conhecimento do assunto. Neste caso, aconselhamos usar os atalhos para as redes sociais ao final do post ou indicar o endereço deste Blog aos mesmos.

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