A Pegadinha Algébrica da Matemática!

Onde Está o Erro Algébrico desta Questão Matemática?

Vamos abordar aqui apenas um tipo de erro algébrico e que também podemos chamar de pegadinha algébrica da matemática. Na questão ao lado e que também expomos abaixo, vemos um equívoco que muitos alunos cometem, quando estudam alguns conteúdos de álgebra. Constatamos que esse é um erro comum que é cometido em todos os níveis de conhecimento, desde estudos iniciais de álgebra até por aqueles que têm um nível superior de aprendizado em matemática, por simples descuido, desatenção ou deficiência, observado num conceito inicial desta disciplina. Na verdade, os exemplos aqui relatados são provenientes de um equívoco envolvendo o cálculo numérico que seria aplicado indevidamente neste raciocínio de álgebra. 

Com certeza, estes exemplos, podem ser usados em aulas de álgebra, como um alerta de que todos conteúdos da matemática, conceitos e suas propriedades deverão ser observados nos níveis médios e superiores deste tipo de ensino matemático, para não incorrermos equivocadamente em erros infantis matemáticos, como o que vamos expor logo a seguir. 

Estes equívocos, talvez ocorram devido a nossa pressa ou mesmo pela falta de atenção ao que já foi aprendido na Matemática Básica. Podemos evitar a grande maioria desses erros, prestando atenção e verificando noções simples já aprendidas em séries iniciais, como veremos no exemplo abaixo.

Atenção: Alertamos que, para saber como evitar certos tipos de erros ou alguns equívocos no ensino de Matemática, e caso eles sejam cometidos, é de fundamental importância parar um pouco os estudos e aprender com eles. Já publicamos uma matéria neste espaço sobre o assunto e sugerimos acessar ela clicando no link: Como eliminar os erros no ensino de Matemática! 

Divisão por zero

Já aprendemos que nunca podemos dividir qualquer número real por zero, mas muitas vezes acabamos esquecendo deste detalhe e, quando trabalhamos com a álgebra, podemos involuntariamente cometer este tipo de erro elementar e até chegarmos a conclusões e afirmações absurdas como veremos adiante.

Assim, sabemos que, por exemplo: 0/3 = 0, mas 3/0 não vale zero, pois a divisão por zero é indefinida considerando os números reais.

Veja então, alguns exemplos do tipo de estrago que pode surgir quando dividimos involuntariamente qualquer número real por zero. 

Exemplo 1:





Observe no exemplo abaixo que chegamos equivocadamente na afirmação absurda de que 1=2. Você saberia encontrar o erro no trabalho algébrico abaixo?

1. Supomos que seja verdade que a = b;
2. Se multiplicarmos ambos os membros por a temos que: ab = a²
3. Subtraindo ambos membros da equação por b², teremos: ab - b² = a² - b²;
4. Fatorando ambos lados da equação, temos que: b(a - b) = (a + b)(a - b);
5. Dividindo-se ambos membros da equação por a - b, então: a + b = b
6. Como inicialmente afirmamos que a = b, então: b+b = b → 2b = b
7. Se dividirmos ambos lados da equação acima por b, temos: 2 = 1  

Exemplo 2:

Agora, veja como encontrar o seguinte absurdo 14 = 7.

1. Supomos novamente que a = b;
2. Multiplicando ambos membros por a → a² = ab;
3. Subtraindo b² dos dois membros → a² - b² = ab - b²;
4. Multiplicando ambos membros por 7 → 7(a² - b²) = 7b(a - b)
5. Dividimos ambos membros por a - b → 7(a+b) = 7b
6. Como a = b (do item 1) → 7(b+b) = 7b → 7(2b) = 7b → 14b = 7b
7. Dividindo-se ambos membros por b, temos que: 14 = 7

Veja onde  ocorreu o equívoco algébrico ou a pegadinha nos exemplos 1 e 2! 

Saiba como conseguimos provar o absurdo de que 1 = 2 no primeiro exemplo e que 14 = 7 no exemplo 2. Como sabemos que isso não é verdade, precisamos saber onde erramos, para nos precaver, quando formos estudar outros exemplos algébricos. Temos certeza de que cometemos um erro algébrico em algum lugar ou em alguma passagem realizada neste raciocínio. Preste atenção no exposto abaixo:

Se você ainda não localizou o equívoco, observe atentamente a etapa 5 acima descrita. Lembre-se que nós começamos com a suposição de que a = b. No entanto, se isso é verdade, então temos: a - b = 0.  Então, no passo 5, ficou provado que realmente estamos dividindo equivocadamente aquela expressão algébrica por zero em ambos exemplos! 

Por pura falta de atenção neste detalhe, esse simples erro, levou-nos a algo que sabíamos que não era verdade, no entanto, na maioria dos casos a sua resposta não vai, obviamente, estar errada. Não vai estar  sempre claro que você estará dividindo por zero, como foi o caso ocorrido com estes exemplos.

Atenção: Moral aprendida nesta matéria!!!





"Nunca podemos dividir qualquer número real por zero."

Conclusão:

Veja que apenas um erro infantil, ocorrido numa das etapas(passagens) dos exemplos, pode por todo trabalho algébrico a perder, como o que ocorreu nos casos acima. Por isso, precisamos sempre estar atentos para esses tipos de ocorrências e prestar muita atenção nos detalhes matemáticos, nas propriedades, algoritmos, axiomas e demais condições, que podem ser fundamentais para não incorrermos em erros infantis como os relatados.
Se você estiver interessado em ver como certas pegadinhas da matemática podem nos derrubar nas provas e concursos, recomendamos acessar nosso conteúdo chamado: Pegadinhas em Questões de Lógica Matemática nos Concursos Públicos!  

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