Muito Obrigado pela visita! Aproveite para se cadastrar gratuitamente como seguidor(a).

Aqui a Matemática é Simples e Descomplicada! Acesse, comente e compartilhe nossos artigos.
Hoje é


Dicas para Ensinar e Aprender Matemática com Bom Humor! - Para acessar: →

Translate

quinta-feira, 10 de setembro de 2015

Áreas de Triângulos e Quadriláteros Cíclicos pela Fórmula de Heron/Brahmagupta!

O objetivo deste nosso estudo, abordando as áreas de quadriláteros cíclicos e triângulos, usando a fórmula de Heron e Brahmagupta é levar ao nosso leitor, o conhecimento de novas formas, pouco divulgadas, para efetuarmos o cálculo de áreas destes tipos de figuras geométricas planas.

O método mais fácil para acharmos a área de qualquer triângulo, diz que basta multiplicar o comprimento da base pela sua altura e dividir o resultado por 2, ou seja: Área = (base.altura)/2. 
Nota: Caso você tenha dificuldade em efetuar o cálculo da área de um triângulo qualquer, usando todas teorias e fórmulas previstas na Geometria Plana, sugerimos acessar nossa matéria: Como Calcular a Área de Um Triângulo Qualquer
  
Mas, voltando ao tema, caso sejam conhecidos apenas o valor dos 3 lados de um triângulo qualquer, então poderemos usar a fórmula de Herão ou (Heron) para efetuar a sua solução, como veremos abaixo. 

Heron de Alexandria, também conhecido por Herão (10 d.C. até 80 d.C.) foi um sábio matemático, que ainda foi geômetra e engenheiro, e que ficou conhecido pela fórmula que leva o seu nome e se aplica ao cálculo da área de um triângulo qualquer. 

A fórmula de Heron é muito conhecida e é utilizada para efetuar cálculos de áreas de um triângulo qualquer, sendo conhecidos apenas o valor de seus lados. Com a generalização de seus estudos, cujos créditos se deve ao matemático e astrônomo indiano, igualmente famoso chamado Brahmagupta, ela também é usada e aplicada em quadriláteros, inclusive em quadriláteros cíclicos (inscritos em circunferências), quando são conhecidas as medidas dos seus lados, e eventualmente dois de seus ângulos opostos, cujas fórmulas são dadas por:

1) Área de um triângulo qualquer usando a fórmula de Heron:
Área ▲ = Öp(p-a)(p-b)(p-c), onde a, b e c são os lados do triângulos e p é o semiperímetro do triângulo, ou seja p = (a+b+c) / 2.

Exemplos:
a) Se tivermos um triângulo com os lados: 4, 6 e 8 cm, podemos calcular sua área da seguinte forma:

p = (4+6+8) /2 = 18/2 = 9 cm
Área ▲ = Öp(p-a)(p-b)(p-c) = Ö9(9-4)(9-6)(9-8) =
Área ▲ = Ö9.5.3.1 = Ö135 = 11,62 cm²

b) Calcule a área do triângulo com os lados 3, 4 e 5 metros?
Nota: Sabemos de antemão que é um triângulo retângulo, pois 5² = 3² + 4² ou seja: 25 = 9 + 16 → 25 = 25.
Logo, usando a fórmula tradicional da geometria para cálculo de sua área, temos que:
Área = (Base x altura) / 2 → Área = 4.3 / 2 = 12/2 = 6 m²

Pela fórmula de Heron: 
p = (3+4+5) / 2 = 12/2 = 6 (semiperímetro)
Área ▲ = Öp(p-a)(p-b)(p-c) → Área = Ö6(6-3)(6-4)(6-5) →
Área = Ö6.3.2.1 = Ö36 = 6 m²


2) Generalização da fórmula de Heron para cálculo de área de quadriláteros inscritíveis!






A generalização da fórmula de Heron para cálculo da área de quadriláteros inscritíveis é muito pouco divulgada nas escolas e por isso pouco conhecida, e é chamada de fórmula de Brahmagupta, a qual é dada por:

Área(ABCD) = Ö(p-a)(p-b)(p-c)(p-d), considerando-se um quadrilátero inscritível de lados: A, B, C, e D, com p representando o semiperímetro deste quadrilátero, ou seja: p = (A+B+C+D)/2

Exemplos:
a) Calcule a área de um quadrado de lado igual a 4 metros?

Pela fórmula tradicional da geometria, basta fazer 4² = 16 m²
Mas, usando a fórmula de Brahmagupta, teremos:
Ö(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)
Note que neste caso = a = b = c = d = 4 m
p = (4+4+4+4)/2 = 16/2 = 8 m
Logo: Área = Ö(8-4)(8-4)(8-4)(8-4) = Ö4.4.4.4 = Ö256 = 16 m²

b) Calculemos agora, a área de um quadrilátero com as seguintes dimensões: lados A = 4 cm, B= 4,59 cm, C= 5 cm e D= 3,10 cm.
Solução:


Usando a fórmula de Brahmagupta, fica muito mais prático efetuarmos o cálculo desta área, ou seja: 
p= (4+5+4,59+3,10)/2 = 16,69/2 = 8,35 m

Área ABCD =Ö(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) = Ö(8,35-4)(8,35-4,59)(8,35-5)(8,35-3,1) →

Área ABCD = Ö4,35.3,76.3,35.5,25 = Ö287,66 = 16,96 cm² 



Nota: A generalização desta fórmula, para seu uso em um quadrilátero cíclico ou inscritível qualquer, cujos lados medem a, b, c e d, sendo conhecido o ângulo q (theta), como a média aritmética de dois de seus ângulos opostos, é descrita pela fórmula abaixo, ou seja:

Área(ABCD)= Ö(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - abcd.cos²q

Exemplo:
1. Calcule a área do quadrado de lado igual a 6 metros, inscrito na circunferência,  usando a fórmula de Brahmagupta, conforme figura abaixo?



Solução:
Área(ABCD) = Ö(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - abcd.cos²q
Área (ABCD) = Ö(12-6)(12-6)(12-6)(12-6) - 6.6.6.6.cos²90º
Área (ABCD) = Ö1296 - 1296.0 = Ö1296 = 36 m²




2. Calcule a área do quadrilátero abaixo de lados: 7, 7, 6,89 e 7 cm, cujos ângulos conhecidos valem: 88,6º e 90,4º que está inscrito numa circunferência e usando da fórmula de Brahmagupta?

Solução:
p = 27,89/2 = 13,94 
q = (88,6 + 90,4)/2 = 179/2 = 89,5º
Área(ABCD) = Ö(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - abcd.cos²q
Área (ABCD) = Ö(13,94-7)(13,94-7)(13,94-6,89)(13,94-7) - 7.7.6,89.7.cos²89,5º = Ö(6,94)(6,94)(7,05)(6,94) - 2363,27.cos²89,5º = Ö2356,50-2363,27.0,000068
Área (ABCD) = Ö2356,50 - 0,161240 = Ö2356,33 = 48,54 cm²



Conclusão:
Como você pode ter observado, estas fórmulas são muito úteis para uso no cálculo de áreas envolvendo triângulos e quadriláteros, quando são conhecidos alguns dados das figuras planas envolvidas, como no caso do triângulo, os seus lados e também os lados e de dois de seus ângulos opostos, no caso dos quadriláteros inscritos numa circunferência. Enfatizamos ainda, que nossa matéria foi baseada no artigo "Heron para quadriláteros...Brahmagupta" que foi escrito por "Augusto Macedo e Carlos A, Gomes", publicado na Revista do Professor de Matemática nº 64, onde você vai encontrar além das fórmulas mencionadas, maiores detalhes sobre o método, inclusive a sua demonstração. 
Esperamos que tenham gostado do assunto e se quiserem comentar, para sanar eventuais dúvidas, sugerir, criticar ou nos elogiar, use o espaço para comentários logo abaixo.

Caso queira compartilhar com seus amigos e mesmo com os alunos, use os atalhos para as redes sociais, localizados ao final do post ou divulgue o Endereço do Blog a quem tenha interesse pela matéria.  Desde já, agradecemos o seu parecer, sua ajuda na divulgação e sua visita. Muito obrigado! 
A Matemática Aqui é Simples e Descomplicada!





Nenhum comentário:

Postar um comentário

Ficou alguma dúvida sobre a postagem acima ou quer deixar uma sugestão?
Escreva seu comentário no espaço apropriado, seja para elogiar, criticar ou expor dúvidas, que publicaremos e responderemos o mais rápido possível.

Atenção: Serão excluídos os comentários contendo propagandas e também aqueles que faltem com o respeito e educação a qualquer usuário do Blog ou, os que venham induzir nosso leitor a acessar conteúdos impróprios e eticamente não recomendados. Desde já, agradecemos sua participação!




Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...