Estudo Básico da Geometria no Espaço!

Fundamento Básico da Geometria do Espaço
O fundamento básico para o estudo inicial da geometria do espaço está pautado no conceito de distância. Logo, ela é muita aplicada para medir distâncias entre astros, estrelas e demais matérias, em que devemos considerar as curvaturas presentes nos cálculos. Se admitirmos que o espaço é euclidiano, então, nele serão válidos todos teoremas da geometria euclidiana. 

Contudo, nos estudos da Física Clássica, o espaço e o tempo são conceito distintos, não havendo nenhuma correlação entre estas quantidades. 

O espaço tridimensional que é descrito e estudado pela Geometria Euclidiana, também pode ser chamado simplesmente por Geometria do Cotidiano. Na geometria Euclidiana, a localização de corpos (pontos) no espaço tridimensional é determinada univocamente em termos do terno ordenado . Considerando-se que:  são as coordenadas de um ponto e  são as coordenadas de um outro ponto, então a distância euclidiana, ou ainda, o intervalo de comprimento, entre estes dois pontos é uma constante "s" que é dada por:

. onde s representa a distância entre dois pontos distintos.

Dizer que nesse espaço valem os princípios da geometria euclidiana significa dizer que valem algumas regras, tais como:

a) A soma dos ângulos internos de um triângulo sempre será igual a 180°.

b) Para um triângulo retângulo (aquele que um de seus ângulos mede 90º), vale o famoso teorema de Pitágoras, ou seja:

a² = b² + c²

Neste caso, temos que a distância "a" é chamada de hipotenusa e as distâncias "b" e "c" são os demais lados do triângulo, e que são também chamados de catetos do triângulo retângulo.

Dizemos então, que a aplicabilidade da geometria euclidiana está intimamente ligada a uma propriedade do espaço muito importante,  que é conhecida também como curvatura.

Resumindo: Se a curvatura do espaço for nula, consideramos  que a geometria válida neste caso, será a euclidiana. Mas, se a curvatura do espaço for diferente de zero, o espaço é dito curvo e, nesse caso, a geometria válida será chamada de riemanniana.

Geometria Riemanniana

Na geometria Riemanniana, que é um ramo da geometria diferencial, estudada por Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866), famoso Matemático de origem alemã. Ela estuda, considerando-se as variedades de Riemann, variedades diferenciáveis (ou suaves) com uma métrica Riemanniana, e com um produto interno sobre o espaço tangente em cada ponto, na qual varia continuamente (ou suavemente) de ponto a ponto. Isto dá uma noção local particular de ângulo, comprimento de curvas, área de superfície, e volume. A partir deste fato, algumas outras grandezas globais válidas podem ser obtidas por integração destas contribuições locais.

Para distinguirmos uma geometria da outra, consideremos o caso de uma superfície plana e uma superfície esférica. No caso do plano, se tomarmos um ponto A e consideramos perpendiculares por esse ponto até dois pontos B e C, verificaremos que, para as distâncias a, b e c, nestas condições, vale o teorema de Pitágoras, ou seja: 

Se aplica a expressão já mencionada acima: a² = b² + c² , ou seja, "o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos lados adjacentes".

Consideremos agora três pontos A, B, C sobre uma superfície esférica. Seja um caso em que A e B estão sobre a linha do Equador e C está sobre o Polo Norte. O caminho mais curto que liga o ponto C sobre o Polo Norte até um ponto sobre o Equador é, como sabemos, a linha de longitude, a qual forma um ângulo reto com a linha do Equador. Temos, pois, aqui um triângulo retângulo tal que a = b.

Vemos pois que, sobre a esfera, 

b² + c² > a² 

Então, não vale, portanto, o teorema de Pitágoras. E também, as somas dos ângulos internos é maior que 180º.

Importante:
Para seu conhecimento, informamos que vale o Teorema de Pitágoras Esférico, que foi assunto já tratado pelo Blog e que vale a pena se inteirar acessando nosso post mencionado.

Então, em quais circunstâncias, deveremos usar a Geometria Euclidiana?

As medidas de distância das matérias e objetos localizados no espaço nos levarão, em geral, a decidir se o espaço é curvo ou não. Nas medidas tratadas no cotidiano, e dentro das precisões das medidas existentes, verificamos que a geometria do espaço pode ser: euclidiana ou plana, esférica ou hiperbólica.

O grande físico e matemático Albert Einstein observou, no entanto, que a presença de massa afeta a curvatura no espaço, isto significa que, rigorosamente, a geometria euclidiana é válida apenas para obtermos um valor aproximado em seus cálculos, ou seja esta aproximação pode ser muito boa para os fenômenos do cotidiano, que ocorrem na superfície terrestre, especialmente quando utilizado para curtas distâncias, onde não existe uma curvatura evidente, que possa distorcer estes resultados.

Entretanto, em regiões onde o campo gravitacional é muito intenso (como nas proximidades de um buraco negro ou em regiões desconhecidas do espaço), a curvatura do espaço deverá se manifestar mais concretamente e, consequentemente, poderá produzir efeitos físicos consideráveis.  E, neste caso deveríamos usar outros modelos e conceitos de geometrias não euclidianas, para produzirmos resultados mais precisos e eficientes.  Se você estiver interessado em saber mais sobre os estudos de Eintein e algumas de suas teorias mais discutidas pelo mundo das ciências e da física, acesse nosso post já publicado aqui, chamado: Fontes de Energia e as Teorias de Albert Einstein.

Atenção:
Para acessar vários exemplos práticos, envolvendo o cálculo da distância entre estrelas, inclusive se inteirar da parte teórica, onde abordamos os ângulos de paralaxes, a UA (unidade astronômica), e outras informações que são usadas nestes cálculos, recomendamos acessar nosso post já divulgado chamado: A Astronomia e a Matemática!

Conclusão: 

O nosso objetivo com esta matéria é para alertar professores, alunos e também muitos outros profissionais que amam a Matemática e a área das exatas, que alguns teoremas e propriedades que foram importantes em estudos de matemática na Geometria plana, muitas vezes podem não produzir resultados eficientes, corretos e satisfatórios, quando aplicados no espaço ou em locais específicos, onde pode-se verificar uma curvatura mais evidente, especialmente para cálculos envolvendo longas distâncias envolvendo a curvatura entre seus pontos.

Se estiver interessado em saber sobre outras teorias da física que consideram o espaço, a velocidade e a relatividade, não deixe de acessar nossos estudos sobre a Teoria da Relatividade de Einstein, na qual foi abordado o tema de uma forma mais detalhada, simples e precisa.

Esperamos que tenham gostado do assunto, contudo se ficou com alguma dúvida, ou quiser sugerir, elogiar, criticar, deixe seu parecer no espaço para comentários ao final do post, que responderemos num curto espaço de tempo.

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