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sexta-feira, 4 de setembro de 2015

Teorema de Pitágoras Esférico

Considerações sobre o Teorema de Pitágoras Esférico
Será que existe uma aplicação do Teorema de Pitágoras, que seja aplicável também para triângulos retângulos sobre esferas?

Claro que sim, pois quando pensávamos que nossa terra seria plana, surgiu com grande utilidade e evidência, o teorema de Pitágoras, o qual resolvia todos nossos problemas, relativos a medida de áreas, utilizando o triângulo retângulo, ou seja aquele que possui um de seus ângulos medindo 90º(reto), sendo a hipotenusa o lado oposto ao seu ângulo reto, e os outros dois lados são os seus catetos. Enfatizamos ainda, que o tema áreas e triângulos já foi estudado de forma completa aqui em nosso site, e que você poderá conferir acessando nosso post chamado: Geometria Plana

No entanto, com o avanço dos estudos, ficou-se comprovado que nosso planeta não seria plano, e sim teria a forma esférica ou de uma geoide, o que invalida o uso do teorema para realizarmos estudos e medidas para grandes distâncias, pois neste caso, devemos considerar a curvatura da terra e os ângulos entre os lados do triângulo envolvido em tais medições. Em tais circunstâncias, não teríamos mais num triângulo a propriedade que afirma que a soma de seus ângulos internos medem 180º entre outros fatos aceitos na geometria euclidiana.  Nestas circunstâncias, a soma dos ângulos estaria entre 180º e 540º e a famosa expressão: c² = a² + b² não seria verdadeira, sendo que no sinal igual, agora teríamos que colocar ele como diferente.  

Definição do triângulo esférico!






Definimos um triângulo esférico como pela união de três segmentos geodésicos de uma esfera. As suas propriedades são diferentes das dos triângulos planos e o seu conhecimento, além das medições entre dois pontos do planeta, também é essencial em estudos de navegação astronômica, mecânica de precisão e também em óptica. 

A parte da matemática que estuda as relações entre seus elementos é a trigonometria esférica.
Inicialmente, vamos analisar o que seja um triângulo esférico. Um grande círculo contido numa esfera é qualquer círculo, cujo centro coincide com o centro da esfera. 


Um triângulo esférico é qualquer região composta por 3 lados cercado por lados que são arcos de grandes círculos. Se um dos ângulos de canto for considerado um ângulo reto, o triângulo será chamado de triângulo esférico.
Nestas condições, seja um triângulo, em que o lado C representa o comprimento do lado oposto ao ângulo reto. Sejam A e B, os comprimentos dos outros dois lados deste triângulo. Definindo que R seja o raio da esfera. Então, através de estudos realizados foram deduzidas, entre várias outras aplicações, a seguinte fórmula abaixo que diz:

Cos (C / R) = cos (A / R). cos (B / R).

Esta fórmula ficou conhecida como "Teorema de Pitágoras Esférico", na qual o teorema de Pitágoras tradicional pode ser obtido como um caso especial dela. Quando o raio R tiver comprimento tendendo para infinito, e expandindo os co-senos, usando a sua série de Taylor, podemos manipular tal expressão que deve resultar e dar origem a forma tradicional que é conhecida de todos:
C² = A²  + B²

Nota: A fórmula tradicional do Teorema de Pitágoras que se aplica a um triângulo retângulo(aquele em que um de seus ângulos internos mede 90º), é definida como "A hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos seus catetos"

Exemplo Prático:
Suponha que tenhamos um triângulo inserido numa esfera com as seguintes condições: lados B = 1,2 km e C = 2 km e raio de 1 km e queremos achar a medida do lado A.

Solução:
Cos (2/1) = cos (A/1).cos (1,2 /1) → cos 2 = cos A . cos 1,2 → cos A = cos 2 / cos 1,2 → cos A = 0,9993 / 0,9997 → cos A = 0,9996 → A = 1,62 km

Importante: O teorema de Pitágoras é derivado dos axiomas da geometria euclidiana, e de fato, a versão euclidiana não é válida nas geometrias não euclidianas. Sabemos que o teorema de Pitágoras é equivalente ao postulado das paralelas. Em outras palavras, numa geometria não euclidiana, a relação entre os lados de um triângulo deve necessariamente tomar outra forma diferenciada, como, por exemplo, na geometria esférica, a² + b² ≠ c².

Onde, c neste caso, representa a hipotenusa de um triângulo retângulo numa geometria não euclidiana e a e b são os catetos deste triângulo considerado como esférico.

Aplicações Importantes do Teorema de Pitágoras Esférico.
Dentre as muitas aplicações do Teorema de Pitágoras numa esfera, podemos destacar, por exemplo, para estimar a distância das estrelas e a distância entre divisas, e os campos que usam a trigonometria esférica envolvem a astronomia, a navegação, teoria musical, óptica, eletrônica, biologia, entre muitos outros estudos importantes envolvendo o universo e o espaço.

Conclusão:

O descobrimento de novas geometrias, ditas não euclidianas, nas quais a soma dos ângulos internos de um triângulo não seria mais 180º e sim um valor variando entre 180º e 540º, e mesmo, outros estudos como por exemplo, aquele que nos diz que por dois pontos distintos não passaria apenas uma reta, mas infinitas, etc. Neste sentido, queremos sugerir que conheça matéria aqui já divulgada chamada: Duas Retas se Encontram no Infinito?, e que vale muito a pena você conferir. Com estes novos estudos iniciava-se uma série de resultados novos, considerados como consistentes, tanto quanto verificamos na Geometria Euclidiana.  Todos estes resultados, apesar de diferentes e distantes de alguns estudos divulgados e aceitos na Geometria Euclidiana, possuem um encadeamento lógico e prático considerado correto, motivando assim a escrita deste presente estudo, que tem por objetivo alertar professores e alunos, especialmente em nível médio, as curiosidades a esse respeito, uma vez que a geometria euclidiana e ensinada não é suficiente para resolver certos problemas de natureza mais real na vida prática, como pudemos observar aqui.

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