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quinta-feira, 29 de outubro de 2015

Lei dos Senos e suas Aplicações!

As Aplicações da Lei dos Senos!
São muitas as aplicações da Lei dos Senos, entre as muitas ciências, das quais elencamos: na engenharia, física, matemática e outras áreas do conhecimento. Esta lei é muito estudada na trigonometria e serve basicamente para descobrir distâncias entre pontos, quando observarmos a presença de um triângulo qualquer, como vemos na figura ao lado. Para sabermos quando usar a lei dos senos, devemos considerar duas situações distintas que expomos abaixo:

1) Quando consideramos o triângulo retângulo, ou seja aquele tipo específico de triângulo em que se verifica que um de seus ângulos mede precisamente 90º, enquanto que os outros dois ângulos são agudos. Neste caso, os estudos trigonométricos têm por finalidade relacionar os ângulos do triângulo, com as medidas dos lados, por meio das seguintes relações: seno, cosseno e tangente. Essas relações, utilizam o cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotenusa. Observe as seguintes relações:
  • Seno: cateto oposto / hipotenusa.
  •  Cosseno: cateto adjacente / hipotenusa.
  •  Tangente: cateto oposto / cateto adjacente.
   Frisamos que:
  • Hipotenusa - É aquele lado oposto ao ângulo reto, sendo que os dois outros são considerados catetos do triângulo retângulo.
  • Cateto Adjacente - É o lado que fica mais próximo, ou adjacente ao ângulo agudo considerado.
  • Cateto Oposto - É o lado oposto ao ângulo agudo.
Considerando o triângulo retângulo ABC abaixo:

Dizemos que o lado AB é a hipotenusa, enquanto que BC  e AC são os catetos.
Ainda, o lado BC é o cateto oposto em relação ao ângulo A e também é o cateto adjacente em relação ao ângulo B.
Com relação ao lado AC ele é o cateto adjacente em relação ao ângulo A e cateto oposto em relação ao ângulo B
No caso específico do triângulo retângulo, conforme já estudamos em nosso post: As Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo são definidas as seguintes relações:

Seno do ângulo agudo = Cateto oposto/hipotenusa.
Cosseno do ângulo agudo = Cateto adjacente/hipotenusa.
Tangente do ângulo agudo = Cateto oposto/cateto adjacente.

Exemplos:
a) Uma escada está apoiada numa parede, fazendo com ela e o solo, um ângulo de 30º em sua base. Sabendo-se que ela está afastada 6 metros da base da parede. Quantos metros mede esta escada?

Solução: Veja que se trata de um caso, onde temos o triângulo retângulo, e um ângulo de 30º. Basta aplicar a relação do cosseno, pois temos o valor 6 metros do cateto adjacente ao ângulo mencionado. Ou seja:
Cos.30º = 6/Escada → 0,866 = 6/Escada → Escada = 6/0,866 → Escada = 6,928 metros.





b) Se no exercício acima, tivemos os mesmos dados, apenas mudando-se o valor 6 para o outro cateto, ou seja a altura da base da parede até a ponta ou extremidade da escada fosse 6 metros. Qual seria então o valor da escada?
Solução!
Agora, devemos usar a relação do seno, pois temos o valor do cateto oposto ao ângulo dado de 30º, ou seja:
seno 30º = 6/escada →  0,5 = 6/escada → Escada = 6/0,5 = 12 metros.

c) Agora, considerando a mesma figura, queremos saber quanto mede a parede, sabendo que escada está afastada por 6 metros da base da parede. Como encontrar a altura da parede, sabendo que acima da escada, temos mais 1 metro para chegarmos ao topo dela.
Devemos descobrir a altura do cateto oposto ao ângulo de 30º, ou seja, vamos usar a tangente deste ângulo, ou seja:
tg 30º = cateto oposto/cateto adjacente → 0,577 = cat.oposto/6 → cat.oposto = 6.0,577 = 3,462 metros. Como devemos considerar mais 1 metro acima, então a parede teria 4,462 metros.

2) Quando considerarmos triângulos quaisquer, utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cossenos para calcular as medidas e os ângulos desconhecidos. Então, a lei dos senos é muito utilizada para resolver muitos exercícios quando tivermos o conhecimento de alguns dados, como alguns exemplos que veremos nesta matéria.
Fórmula que representa a lei dos senos:

Considerando o triângulo ABC (figura ao lado) e a medida de seus lados, a, b e c. Pela lei dos senos, utilizamos as relações envolvendo o seno do ângulo e a medida oposta ao ângulo.








Exemplo d:
Determine o valor de x no triângulo a seguir.
Solução!
Apurando os valores:
sen120º = sen(180º – 120º) = sen60º = √3/2 ou 0,865
sen45º = √2/2 ou 0,705
Usamos a lei dos senos, ou seja:
x/sen120º = 120/sen45º x/0,865 = 120/0,705 (multiplicando em cruz os fatores)→
x.0,705 = 0,865.120 → x.0,705 = 103,80 → x = 103,80/0,705 → x= 147,23 metros

Exemplo e:
Considerando que o triângulo abaixo tenha dois de seus ângulos, um deles medindo 45º e o outro de medida 105º, e que ainda um lado dele tenha 100 metros. Com base nesses valores, determine a medida do lado x.

Solução!
Devemos utilizar a lei dos senos para acharmos o valor x. No entanto, note que falta o valor do terceiro ângulo do triângulo. Vamos descobrir ele, usando da seguinte definição: a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo sempre vale 180º. Portanto:
α + 105º + 45º = 180º
α + 150º = 180º
α = 180º – 150º
α = 30º
Agora, que já temos todos os dados, vamos aplicar a lei dos senos, ou seja:
x/sen45º = 100/sen30º
x/0,705 = 100/0,5 (multiplicando-se em cruz os fatores)
x.0,5 = 0,705.100 0,5x = 70,5 → x = 70,5 / 0,5 → x = 141 metros.

Exemplo f:
Considere a figura abaixo, em que queremos saber a largura "x" de um rio, quando verificamos que uma pessoa na posição P está distante 100 metros da margem do rio e ainda observando-se os ângulo de 45º e 30º destacados na figura. 











Solução:
Usando a lei dos senos, podemos escrever: x/sen45º = 100/sen30º
Então: x/0,705 = 100/0,5 → 0,5x = 0,705.100 → 0,5x = 70,50 → x = 70,5/0,5 → x = 141 metros.

CONCLUSÃO:






Se você quiser saber mais sobre o triângulo retângulo e nossos estudos envolvendo trigonometria, inclusive com exercícios sobre o tema, acesse nosso post chamado: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo!
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