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domingo, 22 de novembro de 2015

Como Resolver Problemas de Álgebra?

Aprenda como Resolver os Problemas de Álgebra!
Atendendo vários pedidos de nossos leitores, que nos sugeriram elaborar uma lista com alguns problemas algébricos, resolvemos publicar gratuitamente, alguns exemplos de questões de álgebra com resposta comentada. Nosso objetivo é proporcionar a estes leitores, o conhecimento de algumas regras, dicas, técnicas e habilidades necessárias para solucionar estes tipos de questões que são frequentemente cobrados em provas, concursos públicos e exames. Portanto, ao tentar resolver estas questões, anote suas dúvidas e dificuldades e acesse a parte teórica aqui mesmo em nosso Blog, como por exemplo, dificuldades em encontrar o MMC, em operar com Frações, Porcentagens, Equações, Operações Básicas de Matemática, etc.  Alertamos que estas questões estão em nível fácil e outras em nível médio de dificuldade. 







Problema 1
Uma equipa de futebol perdeu 5 partidas e, em logo em seguida, venceu 10. Qual foi o saldo ou o progresso desta equipe neste campeonato?
Solução:
Para as partidas perdidas, use negativo. Para as vencidas, use positivo.
Progresso = -5 + 10 = 5 partidas

Problema 2
Utilize a propriedade distributiva para resolver o problema abaixo:
Maria comprou 10 blocos de papel e 5 canetas numa loja. Se eles custam 2 reais cada um. Qual a conta que Maria deve fazer para pagar sua compra?
Solução:
2 × (10 + 5) = 2 × 10 + 2 × 5 = 20 + 10 = 30 Reais

Problema 3
Um cliente pagou 150 reais por uma máquina de café, depois de ter sido concedido um desconto de 20 reais pelo vendedor. Qual era o preço original da máquina de café?
Solução:
Seja x for o preço original. Então: x - 20 = 150
x - 20 + 20 = 150 + 20
x + 0 = 170
x = 170,00

Problema 4
Se a metade de um número acrescido de 5 é 11. Então, quanto vale este número?
Solução:
Seja x o número desconhecido. Sempre devemos substituir o "é" com um sinal de igual.
(1/2).x + 5 = 11
(1/2)x + 5 - 5 = 11 - 5
(1/2)x = 6
2.(1/2)x = 2.6
x = 12

Problema 5
A soma de dois números inteiros e pares consecutivos é 26. Quais são os dois números?
Solução:
Como um número par se escreve como 2n / n= 1,2,3, ...
Vamos supor que 2n seja o primeiro número inteiro par, então 2n + 2 será o segundo inteiro par.
2n + (2n + 2) = 26
4n + 2 = 26
4n + 2 - 2 = 26 - 2
4n = 24
n = 6
Assim, o primeiro número inteiro par é 2n = 2.6 = 12 e o segundo é 12 + 2 = 14

Problema 6
Sabendo-se que a razão de dois números é 5(maior dividido pelo menor), e a soma deles é 18. Quais são os dois números?
Solução:
Seja x o primeiro número e y o segundo número. Assim, podemos escrever:
x / y = 5/1 e x + y = 18
Usando x / y = 5/1, obtemos x = 5y, (pela multiplicação cruzada).
Substituindo x = 5y em x + y = 18, temos 5y + y = 18
6y = 18 y = 3
Como: x = 5y x = 5.3 = 15
Logo, estes números são: 15 e 3
Provando: Como você pode ver, x/y = 5 15/3 = 5, então a proporção é correta e ainda x + y = 18 3 + 15 = 18, então a soma está correta.

Problema 7
Pedro tem 100 moedas, sendo que elas são de valores: 0,05, 0,10 e 0,25. Sabe-se que ele tem 18 moedas de 0,05 a mais do que as moedas de valor 0,10 e que o total geral é de R$ 7,40. Qual a quantidade de cada tipo de moeda, assim como o valor por cada faixa de moeda?
Solução:
Supondo que x seja a quantidade de moedas de 0,10, então:
x = 0,10
x + 18 = 0,05 (ele tem 18 moedas de 0,05 a mais do que as de 0,10)
O restante é de valor 0,25, ou seja: 100 – x – x – 18 = 0,25 82 – 2x = 0,25
Como o total de moedas em reais vale 7,40 ou seja 740/100, para trabalharmos com inteiros, devemos multiplicar o valor de 0,10 por 100 = 10, 0,05.100 = 5 e 0,25.100 = 25, Então, pela soma total e simplificando temos:
10x + 5(x +18) + 25(82 – 2x)) = 740 
→ 10x + 5x + 90 + 2050 - 50x = 740 
→ -35x = 740 – 2140
-35x = -1400 → x = 1400/35 → x = 40
Logo:
x = moedas de 0,10 → 40 moedas de 0,10;
x + 18 = 40 + 18 = 58 moedas de 0,05;
82 – 2x = 82 - 2.40 = 82 – 80 = 2 moedas de 0,25

Problema 8
A área de um retângulo vale: x² + 4x - 12. Quais são as dimensões do retângulo (comprimento e largura)?
Solução
A ideia principal é fatorar x² + 4x - 12 e achar suas duas raízes!
Para achar as raízes, use Bhaskara ou a fórmula da soma S e o produto P das raízes: x² - Sx + P = 0. Deduzimos que as raízes são 2 e -6, pois 2 - 6 = -4 e 2.(-6) = -12. Logo, podemos escrever que: 
x² + 4x - 12 = (x - 2).(x + 6)
Sabendo-se que o comprimento é geralmente maior, então o comprimento é igual a x + 6 e sua é largura será x - 2  Atenção, devemos considerar que x seja maior que 2 porque não existe área negativa.

Nota 1: Se tiver dificuldades na resolução de equações do segundo grau, acesse nosso post chamado: Equação do Segundo Grau! ou se quiser recordar ou aprender sobre fatoração, recomendamos acessar a matéria: Produtos Notáveis!

Problema 9
Se a área de um retângulo vale 24 cm² e a largura é dois centímetros menor do que o comprimento. Qual é o comprimento e a largura deste retângulo?
Solução:
Seja x o comprimento, então: x - 2 será a largura deste retângulo.

Área = comprimento × largura = x.(x - 2) = 24
x² - 2x = 24 x² = 24 + 2x ou
x² - 2x - 24 = 0
Resolvendo a equação pela expressão x² - Sx + P = 0, onde produto P = -24 e soma S vale 2, temos:
Produto= -24 = 6.(-4) e soma= 6 - 4 = 2, obtemos:
x² - 2x - 24 = (x + 4).(x - 6) = 0
Isso leva a duas equações para resolver:
x + 4 = 0 e x - 6 = 0  
x + 4 = 0 x = -4. Devemos rejeitar esse valor porque toda dimensão não pode ser negativa.
x - 6 = 0 x = 6
Portanto, comprimento = 6 e largura = x - 2 largura = 6 - 2 = 4
Logo, o retângulo possui as dimensões 4 e 6.

Problema 10
Sabendo-se que a soma de dois números é 16 e a sua diferença é 4. Quais são os dois números?
Seja x o primeiro número e y, o segundo número.
x + y = 16  e  x - y = 4
Solução:
x + y = 16
x - y = 4
Vamos resolver o sistema de equações por eliminação.
Somando-se os lados esquerdo e o lado direito resulta:
x + x + y + -y = 16 + 4
2x = 20
x = 10
Substituindo-se x= 10 em x + y = 16 10 + y = 16
10 + y = 16 10 - 10 + y = 16 - 10 y = 6
Logo, os números procurados são: 10 e 6.

Problema 11
Você sabe qual é a resposta para a expressão da figura ao topo desta matéria, ou seja: 4x + 2 = 10?
a) 2   b) 8   c) -2    d) 12    e) NDA
Solução: Note que se trata de uma equação do primeiro grau e que basta achar o valor da incógnita x, ou seja: 
4x + 2 = 10 
4x + 2 - 2 = 10 - 2
4x = 8 → x = 8/4 → x = 2
Portanto, letra a  

Nota 2: Se tiver dificuldades na resolução de equações do 1º grau com uma variável, acesse nosso post chamado: Problemas do 1º Grau com uma Variável 

Problema 12
José, Maria e Vicente estavam andando em direção à Escola onde estudavam. Sabendo-se que cada um deles já andou respectivamente, 8/6, 2/3 e 0,875 do caminho, qual deles deverá chegar primeiro e qual será o último a chegar lá, se as velocidades deste percurso não se alterarem.  
Solução: 
Devemos saber qual fração representa o maior e menor percurso, ou seja:
José = 8/6 (÷2) = 4/3
Maria = 2/3
Vicente = 0,875 = 875/1000 (÷125) = 7/8
Então, sabendo-se que MMC entre 3 e 8 vale 24, podemos conseguir deixar as frações equivalentes e escrever que:
José = 4/3 (8) = 32/24
Maria = 2/3 (8) = 16/24
Vicente = 7/8 (3) = 21/24
Portanto, comparando as frações correspondentes (32/24 > 21/24 > 16/24), afirmamos que José chegou primeiro, em seguida chegou Vicente e por último chegou Maria.

Nota 3: Se quiser revisar o conteúdo MMC e MDC você pode acessar: Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum! ou se quiser revisar ou aprender sobre operar com frações, acesse: Operações Básicas com Frações!
 
CONCLUSÃO:
Se você percebeu que tem dificuldades em resolver algumas das questões é sinal de que precisa estudar e revisar certos conteúdos básicos em Matemática. Aqui neste site, pesquisando você vai encontrar muitos posts com a parte teórica e prática para que possa aprender ou revisar toda matéria de seu interesse. Alguns links sobre certos conteúdos estão indicados neste estudo, outras matérias desejadas, você deverá pesquisar aqui neste site que vai encontrar com certeza. Salientamos também que só aprendemos Álgebra ou outros tópicos de Matemática com a prática, ou seja resolvendo muitos exercícios e questões envolvendo a matéria.
Atenção!!!
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