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terça-feira, 5 de janeiro de 2016

Revisão de Aritmética Básica

Nossa Revisão de Aritmética Básica!
Atendendo pedidos de nossos leitores que frequentam o ensino fundamental e também de alguns candidatos a concursos públicos, que apresentam muitas dificuldades em entender as noções básicas de aritmética, resolvemos iniciar uma revisão de aritmética básica, abordando os principais conceitos deste conteúdo, os quais são ensinados na escola básica. Ressaltamos que aqui em nosso blog vocês encontrarão muitas outras matérias que complementam o artigo, e que aconselhamos que sejam visitados e devidamente estudados por todos interessados no aprendizado desta importante parte da Matemática. Portanto relate, anote, pesquise neste site ou mesmo em outras fontes da internet as suas dúvidas, para que obtenha sucesso no aprendizado. Alguns links para nossas matérias que ajudam na compreensão desta revisão, estão sugeridas no decorrer deste estudo para facilitar o acesso. Boa revisão!

Números Inteiros
Os inteiros são os números 1, 2, 3, e assim por diante, ou seja é um conjunto com os seus valores positivos e negativos, acrescentando-se a eles o número zero (0).
Logo, o conjunto dos números inteiros completo fica assim:
{ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... }

Os números positivos são os inteiros maiores do que zero;
Os números inteiros negativos são menos do que zero, e o zero (0) não é positivo, nem negativo. 
Quando operamos com os números inteiros, seja adicionando, subtraindo, multiplicando,  o resultado será sempre um número inteiro; 
Exemplos:
1) 2 + 3 + 5 = 10
2) 5 – 3 - 1 = 1
3) 5 x 3 x 2 = 30

Veja algumas observações com a multiplicação entre números inteiros.
a) O produto de dois números inteiros positivos é sempre um número inteiro positivo.
b) O produto de dois números inteiros negativos é um número inteiro positivo.
c) O produto de um número inteiro positivo com um número inteiro negativo é um inteiro negativo.
Importante: Conheça tudo sobre todos Conjuntos Numéricos, como: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais, incluindo muitas atividades correlatas, acessando nosso artigo completo sobre o tema!

Múltiplos e Fatoração






Quando os inteiros são multiplicados, cada um dos números inteiros multiplicados é chamado de fator ou divisor de resultante produto. 
Por exemplo,
2 x 3 x 10 = 60

Assim 2, 3, e 10 são chamados fatores de 60.
Ainda, os números inteiros 4, 15, 5, e 12 são também fatores de 60, uma vez que:
i) 4 x 15 = 60
ii) 5 x 12 = 60

Nota: Os fatores positivos de 60 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, e 60. Os seus simétricos(aqueles mesmos números com sinal negativo) também são fatores de 60, uma vez que, por exemplo,
-2 x -30 = 60

Ainda, dizemos que 60 é um múltiplo de cada um de seus fatores e que 60 é divisível por cada um dos seus fatores. 

Conhecendo mais alguns exemplos de fatores e múltiplos.
a) Os fatores positivos de 100 são 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, e 100.
b) 25 é um múltiplo de apenas seis inteiros: 1, 5, 25 e seus negativos.
c) A lista dos múltiplos de 25 positivos é infinita ou não tem fim: 25, 50, 75, 100, 125, 150, etc.
d) Da mesma forma, cada inteiro diferente de zero tem infinitos múltiplos.
d) 1 é um fator de cada número inteiro; 
e) 1 não é um múltiplo de qualquer outro número inteiro, exceto -1 e 1.
f) O zero não é um fator de qualquer outro número inteiro, exceto ele próprio.

Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum – MDC e MMC 
mínimo múltiplo comum (ou menor fator comum) de dois números inteiros a e b que sejam diferentes de zero é o menor inteiro positivo em que ambos são múltiplos. Por exemplo, o menor múltiplo comum (MMC) de 30 e 75 é 150. Explicando...
Este resultado se dá, porque considerando o número positivo 30 temos os múltiplos de 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, etc.;
Enquanto que, os múltiplos de 75 são os positivos 75, 150, 225, 300, 375, 450, etc. Logo, os múltiplos positivos comuns de 30 e 75 são de 150, 300, 450, etc., e o menor deles é o valor 150.

máximo divisor comum (ou maior fator comum) de dois inteiros a e b, diferentes de zero é o maior inteiro positivo que é um divisor tanto de a e b. 
Por exemplo, o maior divisor comum entre 30 e 75 é 15.
Isto se dá, porque os divisores positivos de 30 são 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, e 30;
Enquanto que os divisores de 75 são de 1, 3, 5, 15, 25, e 75. Note que os divisores positivos comuns de 30 e 75 são 1, 3, 5, e 15, e o maior deles é o número 15.
Nota: Para acessar o conteúdo completo MMC e MDC, inclusive com muitos exercícios resolvidos procure pelo conteúdo neste Blog ou Clique aqui!

Números Primos
Um número primo é um número inteiro maior do que 1, que tem apenas dois divisores positivos: ou seja 1 e ele mesmo. Os dez primeiros números primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29.
Por exemplo:
a) O número inteiro 14 não é um número primo, pois ele tem quatro divisores positivos: 1, 2, 7 e 14.
b) O número inteiro 1 não é um número primo.
c) O inteiro 2 é o menor número primo, pois seus divisores são 1 e o próprio 2.
d) O número 5 também é primo, pois ele tem apenas os divisores 1 e ele próprio.
e) Já o número 4 não é primo, pois tem além dos divisores 1 e 4 também o valor 2.

Fatoração em Primos
Cada número inteiro qualquer maior do que 1 pode ser expresso de forma única como um produto de fatores que são números primos, ou divisores primos. Tal expressão é chamado de fatoração em primos. 
Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.
Por exemplo o número 24. Note que o produto 2 x 2 x 2 x 3 apresenta todos os fatores que são primos. Então, chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é igual a: 2^3 x 3.

Veja mais exemplos de fatorações em números primos:
Exemplo:
a) 6 = 2.3, então: 2 e 3 são os fatores primos.
b) 12 = 2.2.3, logo 12 = 2^2 x 3
c) 48 = 2.2.2.2.3 → 48 = 2^4 . 3

Número Composto
Um número inteiro maior do que 1 que não seja um número primo é chamado de número composto. 

Os dez primeiros números compostos são 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 e 18.

CONCLUSÃO:
Sugerimos a você que quer aprender mais, que acesse também nosso artigo chamado Operações Básicas de Matemática! e ainda que procure também pelo post chamado Operações Básicas com Frações. Outros temas como: Decimais, Conjuntos Numéricos, Equações, etc. também já foram publicados com muita enfase neste site, basta você pesquisar, acessar e estudar.  
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