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domingo, 28 de fevereiro de 2016

Resolução das Equações do Segundo Grau

A Fórmula de Bhaskara e a Resolução das Equações do Segundo Grau!
Na Matemática, é muito prático o uso de fórmulas para facilitar os cálculos e proporcionar ganho de tempo na solução de muitos exercícios e problemas ou ainda para agilizar a realização de diversas atividades. Elas são muito úteis e importantes na Matemática Financeira, na Álgebra, Geometria, entre outras áreas, mas é de fundamental importância entender o que estamos fazendo, assim como conhecer como ela foi deduzida ou seja como se faz sua devida demonstração e também saber para que serve os resultados encontrados.
Uma das mais conhecidas e utilizadas na Educação Básica é a “Fórmula de Bhaskara”, cujo nome foi dado em homenagem ao grande matemático e astrônomo indiano Bhaskara Akaria ou Bhakara II (1114-1185). Esta é uma fórmula geral que é utilizada para resolução das equações de segundo grau, e cujas sentenças também são chamadas de equações quadráticas. Ela ainda recebe outros nomes como equação polinomial de grau dois, e na sua formação completa, é representada pela expressão: ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais, sendo que obrigatoriamente a ≠ 0. 

Por exemplo: x² + 3x + 5 = 0 (a=1, b=3 e c=5). 

Observe que se o coeficiente de “a” for igual a zero, teremos então, uma equação do 1° grau: ax + b = 0, a qual já abordamos numa matéria interessante deste site que recomendamos seu acesso e inteiração.


Gráfico de uma parábola!
Nas equações de primeiro grau, os seus gráficos são representações de retas, enquanto que o gráfico de uma função polinomial do 2° grau, é representada por uma curva, denominada “parábola”. Na prática vemos a parábola em construções da Arquitetura e Engenharia, como você pode observar na figura inicial deste artigo. E, por isso ela envolve muitas aplicações importantes em muitas outras áreas do conhecimento.
Ainda, o gráfico da parábola pode estar voltada para cima ou para baixo, dependendo do valor atribuído ao coeficiente a, ou seja: 

Se a>0, o gráfico será representado por uma curva voltada para cima;

E, quando a<0, o gráfico terá uma concavidade voltada para baixo. Observe o gráfico abaixo:


Raízes ou Zeros da Equação do Segundo Grau
Os valores de x onde o gráfico da parábola corta ou intercepta o eixo 0x do sistema cartesiano são chamados raízes ou zeros da equação.
A famosa fórmula de Bhaskara nos facilita achar estas raízes ou zeros da equação do segundo grau, bastando substituir os valores da equação na fórmula que é dada por:




Δ = b² - 4ac
Onde,
A letra grega delta (Δ) é chamada de discriminante da equação;
x: é a variável da equação que é chamada de incógnita;
a: coeficiente quadrático;
b: coeficiente linear;
c: coeficiente constante;

Importante!
Note que os valores a, b e c são constantes e chamados coeficientes da equação e o valor de Delta (Δ), de acordo com seu valor, pode indicar três considerações distintas:
1) Se o valor de Δ for maior que zero (Δ> 0), a equação terá duas raízes reais e distintas;
2) Se o valor de Δ for igual a zero (Δ=0), a equação apresentará somente uma raiz;
3) Se o valor de Δ for menor que zero (Δ<0), a equação não apresentará raízes reais.

Exemplos práticos!






1) Ache as raízes da equação quadrática x² - 6x + 8 = 0 usando a fórmula de Bhaskara?
Observe que a= 1, b=-6 e c=8 que devemos substituir na fórmula abaixo.
Como não sabemos o valor do delta, vamos calculá-lo primeiramente:
Δ = b² - 4ac
Δ = (-6)² - 4.1.8 =  36 – 32 = 4
Agora, usando a fórmula acima, teremos:
X = -(-6) ± Ö4 / 2.1
X = 6 ± 2 / 2 (agora temos duas possibilidades)
X1 = 6 + 2 / 2 = 8/2 = 4
X2 = 6 – 2 / 2 = 4/2 = 2

2) A área de um terreno retangular vale 930 m² e seu comprimento é um metro maior que sua largura. Quais são suas dimensões?
A = 930
X  e x+1 são seus lados.
Logo: 930 = x(x+1) = x² + x
X² + x – 930 = 0
X = -1 ± Ö 1² - 4.1.(-930) / 2.1
X = -1 ± Ö 1 + 3720 / 2
X = -1 ± Ö 3721 / 2
X = -1 ± 61 / 2  (temos duas possibilidades)
X1 = -1 + 61 / 2 = 60/2 = 30
X2 = -1 – 61 /2 = -62 /2 = -31 (descartamos pois não existe comprimento negativo)

Logo, um dos lados vale 30 metros, e como o outro é 1 metro maior, ele será de 31 metros.

Atenção: Para encontrar muitos outros exercícios envolvendo este tipo de equação, tudo disponibilizado gratuitamente, com resposta e explicações detalhadas, recomendamos que procure pelo conteúdo em nosso site ou se preferir: Clique aqui!

CONCLUSÃO:
Note que a equação do segundo grau, embora seja um conteúdo importante e aplicado consistentemente na Matemática, tem outras aplicações importantes, seja para cálculo de áreas e construção de pontes e viadutos, entre outras na Engenharia, apuração do lucro ou prejuízo de uma empresa no campo da Economia e Administração, etc. Portanto, estudar e aprofundar-se neste tema será de muita utilidade em seus estudos e na vida profissional. Se você quiser conhecer e saber outras formas para resolvermos uma equação do 2º grau e acompanhados de outros exercícios com resposta, sugerimos procurar nossa matéria que está publicada neste site chamada Como Resolver Equações do Segundo Grau?
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