Por que Não Podemos Dividir por Zero?

Por que não podemos efetuar a divisão de nenhum número real por zero?

Se você, assim como eu, já se deparou ou foi questionado com esta pergunta, muitas vezes formulada em sala de aula: "Professor porque nunca podemos fazer a divisão de qualquer número por zero?" e ficou confuso e até mesmo intrigado com a resposta, não se preocupe porque neste estudo vamos elucidar eventuais dúvidas. Muitos dizem que o zero é a "pedra no sapato" dos alunos do curso superior em Matemática. No entanto, apesar dele representar o nulo, o elemento neutro da adição, etc. ele  é muito importante em vários conteúdos desta disciplina, então leia atentamente o artigo para sanar eventuais dificuldades de interpretação. 

Informamos que existe dois tipos específicos de ocorrência de uma divisão por zero: a divisão de um número não nulo por zero e a divisão de zero por zero. As representações simbólicas desses tipos são: no caso da divisão de um real a diferente de zero por 0 → a/0, exemplo: 1/0 e a divisão do número zero por zero → 0/0. 

Esclarecemos que estas duas divisões tem significado e implicações bastante distintas:

1) A divisão 1/0 é indefinida ou impossível entre os números reais;

2) E a divisão 0/0 é considerada como indeterminada. (Este tipo de ocorrência é muito utilizado nas indeterminações abordadas no estudo de Cálculo para resolver o limite de certas funções).

Importante: Estes conceitos já foram devidamente estudados e abordados aqui em nosso Blog, bastando que você pesquise e acesse nosso marcador chamado: Ensino Superior! 
Mas, voltando ao tema, cabe aqui esclarecer que: 

A divisão 1/0 é considerada indefinida, ou impossível, entre os números reais e podemos argumentar isso da seguinte forma:

Genericamente considerando a e b dois números quaisquer, dizermos que a divisão a/b = c, significa dizer que vale a igualdade: a = b.c . 

Deste modo perguntar "quanto vale o número um dividido por zero" é o mesmo que perguntar "qual número que, quando multiplicado por zero, dá o valor um?". Obviamente, que não existe nenhum número específico que obedeça esta condição, ou seja não vamos achar um resultado numérico para 1/0. Dizemos que a divisão 1/0 é indefinida; ou seja, que é impossível encontrar (ou definir) um número que possa ser atribuído como resultado para o valor de 1/0. Então, qual é a explicação para isso?

Como acabamos de ver, a melhor explicação e mais simplificada resposta para nossa pergunta é que esta razão está relacionada com a questão de uma multiplicação associada. 
Podemos exemplificar enfatizando que se dividirmos 6 por 3 a resposta é 2 porque 2 vezes 3 é 6. No entanto, se dividirmos 6 por zero, então estaremos fazendo a pergunta: "Qual o número que zero deve ser multiplicado para dar resultado 6?" A resposta para essa pergunta, é que não existe este número, pois sabemos que zero vezes qualquer número real é zero e não 6. Assim, dizemos que a divisão por zero é indefinida, pois não é consistente com a divisão por outros números.

Observe que, quando dividimos qualquer número real diferente de zero por outro, esperamos que o resultado seja um outro número também real. 
Veja por exemplo a sequência de números: 1/(1/2), 1/1/3), 1/(1/4), .... Note-se que os denominadores das frações são: 1/2, 1/3, 1/4, ..., e que eles estão indo cada vez mais próximo de zero. Nota-se que se continuarmos esta sequência, dizemos que esta sequência está cada vez mais se aproximando do número zero, então dizemos que essa série tende para o valor 1/0. Por exemplo, a sequência mencionada também poderia ser escrita como: 2, 3, 4, ..., e que vai para infinito. E, como o infinito não é um número real, não podemos atribuir qualquer valor a 1/0. Mas apenas dizer que ela é indefinida.

Mas, vamos dizer que tenhamos atribuído um determinado valor, supondo que o infinito seja um número real, e que 1/0 seja considerado como infinito. Então olhe para a sequencia 1/(-1/2), 1/(-1/3), 1/(-1/4), ..., e observe mais uma vez que os denominadores: -1/2, -1/3,-1/4, ..., estão indo ou tendendo para zero. Então, novamente, observamos que essa sequência está se aproximando do valor 1/0. Mas observando a sequência, ela pode ser simplificada em: -2, -3, -4, ..., e seguindo o raciocínio descrito, ele certamente vai para o infinito negativo. 

Então, será que podemos afirmar que 1/0 é infinito negativo ou infinito positivo? 

Em vez de apenas atribuir um ou outro valor, ou seja que 1/0 é considerado infinito negativo ou positivo, podemos afirmar que o infinito não é um número, e que 1/0 é indefinido. Para saber mais sobre a existência do infinito, recomendamos que acesse nosso post chamado:  A ideia de Infinito!

Cabe também informar que as indeterminações a/0 (quando a for um número real diferente de zero) e 0/0 estão profundamente ligadas com o conceito de cálculo de Limite, cujo artigo já foi abordado em nosso site e que recomendamos sua leitura e o devido estudo. 

CONCLUSÃO!

Se muitas vezes não temos uma resposta adequada para estas e outras questões deste tipo, aconselhamos se preparar para responder tais questionamentos de maneira satisfatória pois eles sempre ocorrem em nosso cotidiano em sala de aula, para nunca ficarmos numa situação embaraçosa e desconfortável. É claro que não temos a obrigação de saber tudo, mas devemos sempre nos posicionar e termos a humildade de dizer que vamos pesquisar o assunto e trazer uma explicação plausível numa próxima oportunidade e nunca deixar tais perguntas sem uma explicação coerente.

Atenção!
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Finalizando, agradecemos sua visita e apoio. Muito obrigado!

A Matemática Aqui é Simples e Descomplicada!