Estudo das Equações!

Estudo das Equações Matemáticas!
As expressões matemáticas apresentadas na forma de equações são consideradas por muitos, como um dos mais importantes assuntos de Álgebra e, consequentemente da Matemática. Então, entender como devemos escrever e equacionar os dados de um determinado problema, passando da língua materna, para uma expressão algébrica Matemática compreensível ou traduzindo para uma equação, manipulando e usando de todos os dados disponíveis, assim como usar os artifícios a serem aplicados de acordo com nossos objetivos, pode nos ajudar com certeza a chegar numa solução eficaz de um determinado problema. Na matemática, para encontrarmos a resposta de determinados problemas, normalmente faz-se necessário escrever a questão ou seja, traduzir a questão para uma linguagem da matemática que chamamos simplesmente de EQUAÇÃO MATEMÁTICA.  

Para seu conhecimento, equatione (equação) é um termo que vem do latim e significa equacionar, igualar, pesar, igualar em peso. É por isso, que muitos comparam uma equação com os dois pratos de uma balança, sendo que se colocarmos um peso numérico numa delas, consequentemente temos que equilibrar, colocando determinado produto do outro lado para pesar. O grande matemático francês chamado François Viète, que foi considerado "o pai da Álgebra", no final do século XVI, foi o primeiro a estudar as propriedades das equações através de expressões gerais como: ax + b = 0. 

Para elucidar nosso leitor, informamos que uma equação matemática, nada mais é do que uma sentença usando a igualdade e vários outros símbolos matemáticos, que representam simplesmente um determinado problema em estudo. Em outras palavras, uma equação se resume numa igualdade, envolvendo uma ou mais variáveis ou incógnitas (valores desconhecidos). Ainda, encontrar a solução ou resolver uma equação é achar todos os valores possíveis para a(s) incógnita(s), que tornem a igualdade verdadeira. Mas é claro que saber usar as operações básicas da Matemática, assim como dominar a tabuada, entre outros fundamentos é de vital importância para encontrar a solução de muitas Equações da Matemática. Se tiver dúvidas sobre a tabuada e quiser saber mais, aproveite um método de aprendizado simples, Clicando Aqui.  

Por exemplo: Qual é o dobro de um número que apresenta resultado 10, ou seja: usando os símbolos matemáticos, podemos escrever isso em uma expressão resumida em: 2x = 10, e que neste caso quer dizer: qual o valor que atribuído à variável x, torna verdadeira a expressão citada, ou seja, neste caso específico verificamos que o valor para x deve ser 5, ou simplesmente escrevemos que: x = 5, pois 2.5 = 10.

Observações das Equações Matemática:
a) Uma equação qualquer  sempre deve ser verdadeira. 
b) Normalmente ela tem dois membros com valores distintos, Os valores do lado esquerdo seguido do sinal igual e os valores do lado direito, sendo que sempre estes valores devem ser devidamente equivalentes. 
c) Se fizermos qualquer operação ou alteração em qualquer lado(membro), ela deve ser igualmente realizada no outro membro oposto. 

Outros exemplos:

1) Tomando a mesma equação 2x = 10 citada acima, e agora acrescentando o número 2, teremos que 2x + 2 = 10 + 2. Veja que ainda assim, o valor x continua sendo 5.

2) Agora multiplicando a mesma expressão por 2, teremos: 2x = 10 → 2x.2 = 10.2 → 4x = 20 ou x= 20/4 → x = 5.

Tipos de Equações!
Existem muitos tipos de equações, que são classificadas de acordo com suas características intrínsecas tais como, o maior grau do expoente da incógnita, a quantidade de variáveis, etc. Entre elas, podemos destacar:

1. Equações Lineares: - São aquelas equações com uma incógnita e são as equações equivalentes da forma: ax + b = 0, que representa no plano uma reta, em que as letras a e b representam números fixos (que são as constantes). O número a é chamado coeficiente de x. A solução para as Equações lineares, se tiverem solução real, só terão um determinado valor.

2. Equações Quadráticas: - São aquelas equações em que a variável tem o maior expoente igual a 2 e são do tipo: ax² + bx + c = 0, e que representa no plano uma parábola, onde a, b e c são números reais, sendo que o coeficiente a obrigatoriamente deve ser diferente de zero. Neste caso, elas podem apresentar até 3 soluções reais distintas. Este tipo de equação também já foi exaustivamente estudado neste site, sendo que vale a pena pesquisar e se inteirar deste estudo.

3. Outras Equações: Existem outros tipos chamados Equações Algébricas, polinomiais, trigonométricas, etc. que serão tratadas numa próxima oportunidade.

4. Sistemas de Equações: São conjuntos de equações lineares e estas equações possuem mais de uma variável. Neste caso, elas são consideradas Sistemas de Equações Lineares e que pode ter ou não uma ou diversas soluções.
NOTA! Para aprender a resolver gratuitamente estes sistemas de equações, acesse nosso artigo chamado: Sistemas de Equações Lineares! 

Questões com expressões que representam equações, usando os símbolos da matemática.

a) Fui ao restaurante e gastei 20,00 com lanches e 10,00 com bebidas. Sabendo-se que o restaurante cobra 10% de serviços. Qual a expressão que resume minha conta e o valor total da despesa?

Expressão da Conta = Gastos + 10% sobre os gastos ou Conta = x + 0,10x, ou Conta = x(1+0,1), conta = x(1,01), onde x representa o valor com as despesas consumidas. 

Então: Conta = (20 + 10) + 10%(20 + 10), ou Conta = 30 + 0,10.30 = 30 + 3 = 33,00, ou simplesmente Conta = 30.1,1 = 33,00. 

b) Em viagem precisei usar um táxi como transporte para deslocamento na cidade. Ele cobra 10 a bandeira mais 2,00 por quilômetro percorrido. Se minha viagem foi de 15 quilômetros, qual a expressão matemática e o valor pago ao motorista?

Expressão da Conta = 10 + 2,00x, onde x representa os quilômetros percorridos.

Logo, conta = 10 + 2,00.15 = 10 + 30 = 40,00

c) Um terreno retangular foi vendido por R$ 90.000,00. Sabendo-se que ele tinha um de seus lados medindo 10 m e que o valor do metro quadrado foi de R$ 300,00 qual a medida do outro lado deste imóvel citado?

Para encontrar quantos m² tem o terreno devemos dividir 90.000,00 por 300,00 ou seja: 90.000/300 = 300 m².

Como a área do terreno é xy, então xy = 300 e ainda um dos lados mede 10m, logo 10y = 300 → y = 300/10 = 30 metros.
Portando, o outro lado mede 30 metros.

d) Se um pato vale 5 reais, um galo 3 e três frangos valem 1, quantos de cada um podemos comprar com 100 reais, de modo que sejam 100 aves ao todo e pelo menos 4 patos?
Vamos resolver usando um sistema de 2 equações. Chamando o pato por a, a galo por b e o frango por c, teremos:
(I) a + b + c = 100
(II) 5a + 3b + c/3 = 100

Da equação II, podemos colocar c como c/3 = 100 - 5a - 3b ou seja c = 300 - 15a - 9b
Agora, subst. c na 1ª equação, temos:
a + b + 300 - 15a - 9b = 100 → -14a - 8b = -200 (÷-2) → 7a +4b = 100
Agora isolando o b teremos que: 4b = 100 -7a (÷4) → b = 25 -7a/4 

Nota: Os valores para a,  b e c deverão assumir serão inteiros positivos e múltiplos de 4 porque são aves. Então:
se a = 0 → b = 25 e c = 75 (impossível pois a>4)
se a = 4 → b = 18 e c= 78
se a = 8 → b = 11 e c = 81
se a = 12 → b = 4 e c = 84
se a = 16 → b = -3 e c = 87 (impossível)
Logo, a resposta será:
(patos, galos, frangos) = (4,18,78) ou (8,11,81) ou (12,4,84).

Nota: 
Se quiser encontrar outras questões e problemas envolvendo as Equações Matemáticas, favor acessar nosso artigo chamado: Como Resolver Equações Matemáticas em Poucos Minutos!

CONCLUSÃO

Muitos dizem que tudo pode ser escrito através de uma simples equação. Por exemplo, para o amor ela se resume em (x² + y² - 1)³ = x²y³, cujo gráfico representa um coração. Não sabemos se isso é verdadeiro ou falso, mas a verdade é que ela existe para simplificar as expressões e resolver muitos problemas matemáticos.
Espero que o artigo tenha sido útil para sanar eventuais dúvidas envolvendo equações. No entanto, se ficou dúvidas sobre o assunto e quiser nossa opinião, favor deixar um comentário ao final do texto, que vamos responder no menor prazo possível. 
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