Mitos e Verdades Sobre o Infinito!

Conhecendo os Mitos, Verdades e os Paradoxos mais Intrigantes Sobre o Infinito

Qualquer aluno quando inicia seus estudos de Matemática, lá na escola fundamental, e estuda os números, sequências e alguns sistemas de contagem, certamente vai entrar em contato com o infinito, mesmo que inconscientemente. Isso irá acontecer quando ele perceber que poderia ficar contando e descobrindo novos algarismos indefinidamente, pois após o último número do aprendizado, sempre existirá um seguinte para aprender. 

Veja então que o nosso primeiro contato com o infinito é visto desde a nossa infância, e está devidamente relacionado com o princípio da contagem; quando contamos e ordenamos algumas sequências numéricas, tais como: um, dois, três..., o primeiro, o segundo..., onde a noção de cardinalidade (quantidade) possivelmente, se confunde com a noção de ordinalidade (ordem). Um exemplo de um conjunto infinito é o dos números naturais. Existem muitos outros, como o conjunto dos números inteiros, entre outros que aprendemos na Matemática Básica, mas que não vamos estudá-los neste artigo. Se quiser saber mais sobre todos conjuntos numéricos recomendamos acessar nosso artigo de mesma denominação e que já foi divulgado neste Blog anteriormente, aliás com muito sucesso de visualizações.

Como vimos, apesar de não ser possível enxergarmos o infinito concretamente, podemos discerni-lo, pois ao contar, percebemos através deste procedimento, que podemos sempre acrescentar mais um ao número anterior. Essa é uma primeira noção intuitiva de infinito que conseguimos enxergar, ou seja, algo infinitamente grande e sem finalização. Mas, como devemos explicar o conceito de infinito para uma criança em seus estudos iniciais na escola infantil? Certamente não é uma tarefa muito fácil de ser cumprida. Muitos dizem que trata-se do maior de todos os números e que é representado pelo símbolo mencionado na figura ao topo (que equivale ao número oito deitado), ou ainda alguma coisa que não conseguimos alcançar nunca, etc.

O infinito sempre instigou a curiosidade e a imaginação de muitos pesquisadores desde os tempos remotos. No entanto, o infinito pode ser também um valor extremamente pequeno, quando dividimos um certo valor em partes iguais e assim sucessivamente, ou seja: {1, 1/2, 1/4, 1/8, ...}. Se continuar com esta sequência, veremos que ela vai se aproximar cada vez mais do zero, porém sem nunca alcançá-lo. Se continuar lendo o artigo, vai entender como muitos pseudos cientistas que viveram em épocas passadas usaram certas considerações sobre o infinito, para postularem verdadeiras aberrações cientificas, que ficaram por muitos anos sem uma explicação lógica e que foram classificadas como "paradoxos matemáticos" e que vamos abordá-los com maiores detalhes mais abaixo.

Quando o grande matemática chamado Pascal por volta do século XVII disse: “o silêncio desses espaços infinitos me apavora”, ele nos queria mostrar a crise provocada pelo renascimento ao contrapor ao espaço infinito, à cosmologia finita de Aristóteles. Mas, como já mencionamos, na realidade enxergamos o infinito como algum número infinitamente grande ou de valor extremamente pequeno.

A noção da grandeza infinitamente pequena é que ela pode ser subdividida indefinidamente em partes menores. Essa noção está relacionada, por exemplo, ao conceito de continuidade do espaço. Hipoteticamente, se um segmento de reta pode ser dividido ao meio, cada metade pode ser subdividida ao meio e cada parte subdividida novamente ao meio, e assim indefinidamente. Portanto, é bastante razoável e geometricamente intuitiva essa ideia de subdivisão indefinida produzindo um processo que nunca chega ao fim ou que nos leva ao infinito. Um conceito que está ligado a esse fato é a teoria atomística de Demócrito (410 a.c.), segundo a qual, uma grandeza é formada por um número muito grande de partes atômicas indivisíveis.

Apesar de menos razoável que o conceito de subdivisão indefinida que foi mencionado acima, em termos práticos, podemos inferir que é o conceito que foi utilizado por Arquimedes (287-212 a.c.), por Cavalieri na Itália em 1635, e também por Kepler em seus cálculos na astronomia e por Leibniz e ainda por Newton com a noção de infinitesimais. A infinitesimal aborda um número tão pequeno quanto se queira, porém maior que zero, e que foi utilizado nas definições intuitivas de derivada e integral.

Os Paradoxos Surgiram Usando os Conceitos Equivocados de Infinito? 

Muitos paradoxos relacionados com o infinito tornaram-se famosos na Grécia e foram muito debatidos e estudados na Idade Média, muitas vezes de modo especulativo e até metafísico. Entre os diversos paradoxos existentes, está o conhecido e já divulgado artigo neste blog que ficou conhecido como: Paradoxo de Zenão! (450 a.c.), e que nos chama a atenção para as dificuldades lógicas que aparecem ao lidarmos equivocadamente com o conceito de infinito. Ele tratava da divisibilidade de intervalos de tempo, numa curiosa corrida entre o velocista Aquiles e uma vagarosa Tartaruga e que vale muito a pena conhecer. Não vamos aqui retratá-la novamente, pois ela já foi publicada, discutida e explicada em detalhes por muitos especialistas, cujas conclusões são encontradas neste site e que recomendamos acessar e estudá-la.

Os Equívocos Cometidos sobre o uso do Infinito!

O infinito sempre intrigou muitos estudiosos e ainda produz muitos questionamentos, entre aqueles que o defendem e outros que o contestam enfaticamente. Não vamos entrar no mérito desta questão, mas vamos apenas detalhar alguns conceitos científicos que julgamos interessantes. Podemos destacar as seguintes questões que tratam dos equívocos cometidos por muitos sobre o infinito:

- A dicotomia: Se um segmento de reta pode ser subdividido indefinidamente, então o movimento se torna impossível,  pois para percorrê-lo, é preciso antes alcançar seu ponto médio, antes ainda alcançar o ponto que estabelece a marca de um quarto do segmento, e assim por diante, até o infinito. Segue-se então, que o movimento jamais começará.

- A flecha: Se o tempo é formado de instantes atômicos indivisíveis, então uma flecha em movimento está sempre parada, posto que em cada instante ela estaria numa posição fixa. Sendo isso verdadeiro em cada instante, segue-se que a flecha jamais se move e assim nunca atingiria o alvo.

- A linguagem do infinito: Muitas explicações foram dadas para explicar o paradoxo de Zenão. Aristóteles, por exemplo, fez várias considerações a respeito, que foram utilizadas na Idade Média para grandes especulações metafísicas sobre a natureza do infinito. A questão é que falta uma linguagem apropriada para tratar do infinito, e o paradoxo causa certo desconforto porque sua linguagem lógica e coerente nega a realidade que observamos e experimentamos na realidade, ou seja, o movimento. Essa distorção é tão grande que os infinitésimos foram totalmente excluídos da geometria demonstrativa grega.

Esse tipo de racionalismo grego é o que na verdade promove o aparecimento destes paradoxos. Mas, é esse mesmo racionalismo que os responde. A resposta surge então na escola Platônica em torno do ano 350 a.c., através do método de exaustão creditado a Eudoxo. Esse método foi muitíssimo utilizado por Arquimedes para calcular diversas áreas e volumes. Os resultados de Arquimedes serviram de base na verificação da eficácia do cálculo infinitesimal de Leibniz e Newton no século XVII.

O Método de Exaustão é uma solução viável para o problema da divisibilidade que leva ao infinito? 

O método de exaustão admite que uma grandeza poderia ser indefinidamente dividida e baseia-se no seguinte postulado:

“Se de uma grandeza qualquer, se subtrai uma parte não menor que sua metade, do restante subtrai-se também uma parte não menor que sua metade, e assim por diante, se chegará por fim a uma grandeza menor que qualquer outra predeterminada da mesma espécie”. (ou seja, não sobra mais nada). O postulado resolve alguns paradoxos de maneira brilhante, mas é um tanto maroto, pois o que se faz é simplesmente postular que um determinado processo infinito tenha final e então esgota-se a grandeza inicial. 

Esse tipo de procedimento era aceito pelo racionalismo grego que se caracteriza pela axiomatização de verdades primeiras das quais todas as outras devem ser deduzidas. Esse foi o critério de verdade iniciado por Tales (600 a.c.) e desenvolvido pela Escola Pitagórica (500 a.c.). Temos como exemplo o famoso Teorema de Pitágoras que é verdadeiro, porque foi deduzido, demonstrado a partir de premissas axiomatizadas e tidas como verdades primeiras e indeléveis. Esse mesmo teorema era conhecido experimentalmente por inúmeros povos. Mas, segundo os gregos, a verdade não vem da experiência e nem pode ser apreendida pelos nossos sentidos, digamos imperfeitos, que nos remetem apenas ao conhecimento de uma representação grotesca da realidade absoluta.

Os Segmentos Incomensuráveis!

Outro grande problema relacionado com o infinito foi a constatação pelos pitagóricos da existência dos segmentos incomensuráveis, isto é, aqueles que não podem ser medidos, como por exemplo, a hipotenusa de um triângulo retângulo, cujos catetos iguais que medem um centímetro cada. Essa impossibilidade não acontece na prática e parece mesmo como uma questão improcedente, pois é claro que podemos medir qualquer segmento, bastando ter metro ou uma régua. Mas, novamente o tipo de racionalidade grega produzia esses questionamentos. A constatação foi essa: não existem números suficientes para medir todos os segmentos. Os gregos também não encontraram números para calcular a área de um círculo de raio unitário.

Assim, surgiu o problema dos números irracionais, incluindo aí o lendário número pi (letra grega) que recebeu esse nome no século XVIII em homenagem a Pitágoras de Samos que foi o primeiro a perceber o fato absurdo e altamente angustiante que é a insuficiência do sistema numérico, ou do princípio da contagem, mesmo sendo infinitamente grande. 

No século XVIII descobriu-se que a suspeita dos gregos era procedente, ou seja, que realmente não existe número para medir a área de um círculo de raio igual a um. 
Por outro lado, intuitivamente e geometricamente é óbvio que existe tal número, bastando usar uma régua e suas unidades de medida. Acreditando então na existência desse número, os matemáticos do século XVIII o chamaram de ? , mesmo sem ter certeza de sua existência. Assim também fizeram com todos os outros números que não existiam, como raiz quadrada de 2 por exemplo, e denominaram esses números de irracionais. A razão da denominação é o fato de que esses números, se existirem certamente não seriam frações, isto é, não são razões de dois inteiros, daí surgindo o nome irracional.

Cabe aqui lembrar que os números irracionais, existindo ou não, são totalmente dispensáveis na produção de tecnologia, mesmo as mais avançadas e modernas. O que deve ser analisado portanto, e isso cabe às ciências sociais, é se o tipo de racionalidade que produz o questionamento dos irracionais é realmente necessária para gerar o desenvolvimento tecnológico avançado, ou seja a tecnologia que veio posteriormente ao século XVII. Como isso é muito duvidoso, vê-se que é meio ridículo colocar referências ao número ? em sondas espaciais que procuram por vidas inteligentes fora do planeta. A não ser que estejam procurando gregos no espaço.

A insuficiência do sistema numérico perturbou a racionalidade grega. A escola platônica contornou o problema, com a teoria das proporções de Eudoxo, para tratar os segmentos incomensuráveis descobertos por Pitágoras. Mas não conseguiu resolver a questão, principalmente o da área de círculos. Na Idade Média, inúmeras abordagens metafísicas foram feitas com relação à natureza do infinito. Mas todas elas foram consideradas sem resultados conclusivos e expressivos ou seja inócuas. 

No Renascimento, Cavalieri retoma ao velho conceito das partes atômicas indivisíveis que fora abandonado pelos gregos para construir um princípio muito útil no cálculo de áreas e volumes, o conhecido princípio de Cavalieri que é ensinado nas aulas de geometria da escola básica. Esse princípio foi muito utilizado por Kepler em sua pesquisa do movimento dos corpos celestes. Cavalieri era aluno de Galileu, que expressava claramente a dificuldade de entender ontologicamente o infinito, devido aos inúmeros paradoxos que pairavam sobre ele e que dificultaram seu trabalho. 

Será que existe mais números pares do que todos os inteiros juntos?

Se refletirmos sobre essa pergunta de forma intuitiva, podemos concluir equivocadamente que o conjunto dos números inteiros é maior do que os dos pares. No entanto, Galileu concluiu que infinito e indivisibilidade são em sua própria natureza incompreensíveis para todos e piorou ainda mais essa situação, ao observar que os atributos “maior”, “menor” e “igual” não fazem nenhum sentido quando são utilizados para comparar quantidades infinitas. 
Por exemplo, pode-se construir uma correspondência um a um entre os números pares e o conjunto de todos os números inteiros, da seguinte forma: a cada número inteiro n associe o número par 2n. Verifica-se facilmente então que essa correspondência é um a um, de modo que não podemos afirmar que temos uma quantidade de números pares menores do que a quantidade total de números. Isso contradiz um axioma básico da racionalidade grega, a saber, o todo é maior que a parte. Temos agora então, outro paradoxo com relação ao infinito e que refere-se aos conjuntos com infinitos elementos, como o conjunto dos números inteiros, que vale a pena refletir e tirar nossas próprias conclusões.

A Ligação entre a História, Infinito e a Matemática!

Considerando, portanto no século XVII pós renascentista e início da ciência moderna, com seu método pragmático, visando previsibilidade e tecnologia, que é a aliança entre a ciência e a técnica, aliança indispensável para atuar na natureza sujeitando-a. O conhecimento deve agora prioritariamente proporcionar um completo controle dos fenômenos naturais. Os novos mecanismos de dominação apoiam-se nesse controle através da tecnologia. A visão é antropocêntrica e o ser humano é senhor do mundo, o explica e o entende por completo, não depende mais da natureza, mas tem total controle dela. O iluminismo será o ápice desse estado de sentimento. O mercantilismo e a revolução industrial se impõem. Assim, o saber deve atender a essa demanda, e estamos assistindo uma grande atividade do conhecimento matemático, isso deflagrada a partir do século XVI. 

O avanço da matemática se deve à necessidade de se obter relações quantitativas entre os diversos conceitos e grandezas emergentes, como força e aceleração, temperatura e pressão, velocidade e tempo, velocidade e distância etc.. Essas relações faziam parte principalmente da mecânica newtoniana recém inventada para dar uma nova interpretação do novo mundo revelado por Galileu. Essa mecânica foi muito bem aceita, pois atendia ao anseio de previsibilidade. Com ela, podia calcular o momento e o local exatos da passagem de corpos celestes como cometas, e lembre que nesse paradigma, conhecer é ser capaz de prever.

Dentro desse contexto histórico, a Matemática se torna operacional, e o infinito passa a ser tratado de maneira intuitiva, tendo como justificativa a funcionalidade. Foi uma época em que os resultados justificavam qualquer procedimento. Quer dizer, qualquer raciocínio é válido, desde que funcione e que os resultados possam ser verificados. Com isso, durante três séculos, (XVI, XVII e XVIII) o método dedutivo grego foi atropelado, ou seja, a racionalidade grega foi completamente atropelada. 

Newton e Leibniz oficializaram esse atropelo, com a teoria dos infinitesimais que culminou no Teorema Fundamental do Cálculo, a grande ferramenta para calcular áreas, volumes e resolver equações diferenciais (fundamentais para se obter previsibilidade e determinismo, que se baseiam na segunda lei de Newton e na noção de velocidade instantânea). Newton e Leibniz lidam com partes atômicas indivisíveis (infinitésimos) sem nenhum escrúpulo em relação à fundamentação de sua natureza. Em outras palavras, ninguém sabia o que era exatamente um infinitésimo indivisível, mas como o método e o raciocínio funcionavam bem, não se pedia uma fundamentação. Mas, Newton sofreu grande ataque do filósofo e o bispo inglês chamado Berkeley que criticava os infinitésimos denominando-os de “fantasmas de quantidades que expiraram”. Outra coisa, o problema dos irracionais, não fora ainda resolvido, mas obviamente foi também atropelado.

Esse tipo de comportamento não é de todo ruim, pois alavancou o conhecimento grego que estava estagnado por excesso de zelo com os fundamentos lógicos. Mas, por outro lado é perigoso, já que não oferece uma segurança lógica quando as situações a serem estudadas ficam mais complexas e os resultados já não são suficientes para justificar procedimentos, muitas vezes considerados inadequados, levando a contradições teóricas desconfortáveis. É bom ressaltar que apesar de tudo não se cometeu nenhum erro por falta de fundamentação lógica, e muita coisa foi feita no século XVIII sem toda essa fundamentação recomendada.

O primeiro intelectual a se sentir incomodado com essa falta de rigor foi o enciclopedista D’ Alembert , mas ele limitou-se a alertar seus contemporâneos no ano de 1754. Outro matemático preocupado com a falta de rigor foi Gauss lá no princípio do século XIX.(1801. Mas ele também não teve nenhuma iniciativa nesse sentido.

No século XIX essa insegurança causada pela falta de rigor começa realmente a incomodar, e por volta de 1850 já é um consenso, a necessidade de uma revisão completa dos fundamentos da matemática. Muitos fatos contribuíram para isso, sendo que um dos mais importantes foi o aparecimento das geometrias não euclidianas por volta de 1830, que foram introduzidas pelo matemático húngaro Bolyai e pelo russo Lobashevsky. Essas geometrias colocaram em dúvida a própria noção de axioma e o sistema hipotético dedutivo característico da racionalidade grega.

A revisão consistia em demonstrar os resultados sem apelar para intuições geométricas espaciais. Para isso, seria necessário definir todos os conceitos aritmeticamente, encontrar uma linguagem adequada para lidar com o infinito e definir precisamente o conceito de limite. 

A Aritmetização da Análise

Essa tarefa para encontrar uma linguagem e definir aritmeticamente o infinito começou a ser feita por Cauchy na França e foi levada a cabo pela escola alemã na segunda metade do século XIX. A questão dos irracionais levantada pelos pitagóricos, só foi resolvida em 1872 pelos matemáticos Cantor e Dedekind independentemente e de duas maneiras diferentes. Esse movimento ficou conhecido como aritmetização da análise. Toda a intuição geométrica foi abolida e as demonstrações eram puramente analíticas, formais e rigorosas, dentro dos princípios do método hipotético dedutivo dos gregos. O problemático infinito agora era tratado como uma linguagem aritmética finitista e a teoria dos conjuntos começou a se impor para formar depois a base dos fundamentos da matemática do século XX.

É nesse cenário que vamos apresentar outro grande nome de todas as ciências chamado Bernard Bolzano. que nasceu em Praga no ano de 1781. Filho de imigrante italiano, tornou-se padre e foi professor de religião na Universidade de Praga. Tinha forte inclinação para a lógica e a matemática. Sempre viveu nessa cidade inexpressiva e longe de qualquer centro cultural importante da época. Foi um homem de cultura e possuía um vasto conhecimento em várias áreas do conhecimento. Faleceu em 1848 e pode ser considerado um precursor da aritmetização da análise, movimento descrito no parágrafo anterior. Em 1817 ele já tinha plena certeza da necessidade de rigor na análise matemática e Felix Klein o chamou posteriormente de “O Pai da Aritmetização”. 

Infelizmente o trabalho matemático de Bolzano foi grandemente ignorado por seus contemporâneos e vários resultados seus aguardaram para ser somente redescoberto posteriormente.

Bolzano estudou vários exemplos análogos ao paradoxo de Galileu. Parece ter percebido que o infinito dos possíveis números irracionais era de um tipo diferente do infinito dos números naturais, noção primordial que caracteriza a teoria dos números transfinitos criada por Cantor no final do século XIX. 

No seu trabalho chamado Paradoxien des Unendlichen (Paradoxos do Infinito) publicado postumamente em 1851, Bolzano percebe, num verdadeiro lance de gênio, que o paradoxo de Galileu pode ser interpretado como uma propriedade ou característica genuína dos conjuntos infinitos; e é exatamente essa característica que foi fundamental para o estabelecimento do cálculo sobre uma teoria de conjuntos infinitos rigorosamente desenvolvida no final do século XIX. Finalmente, Bolzano foi considerado um gênio abandonado que sozinho desafiou o pavoroso e aterrorizador tema que causou e ainda causa muita polêmica chamado infinito. Ele desafiou o Cálculo, cuja gênese encontra-se num passado distante, quando os pitagóricos reconheceram a dificuldade envolvida em tentar substituir considerações numéricas por magnitudes geométricas supostamente contínuas.

Baseado no artigo Paradoxos do Infinito de Antônio Zumpano, publicado no site: http://www.mat.ufmg.br/~zumpano/paradoxo.html

CONCLUSÃO!

Vimos neste artigo alguns fatos, conclusões e ideias tratadas sobre um assunto que é considerado por muitos, como uma área carente de comprovação científica e efetiva de conhecimentos. Tentou-se explicar detalhadamente sobre os muitos paradoxos que envolvem o infinito ou seja, abordamos um assunto polêmico que causou muitas dúvidas em antigos pesquisadores e que ainda gera discussão e controvérsias de muitos especialistas da Matemática. Perguntas e questionamentos sobre o infinito ainda podem gerar muitas dúvidas, tais como: Duas linhas paralelas se encontram no infinito? A diagonal de um quadrado de lado 1 nos leva a um número irracional e com valores que nos levam ao infinito? O Universo é de tamanho infinito? Etc.

Com certeza, os paradoxos que ficaram por muitos anos sem uma resposta foram aqueles que utilizaram o infinito para suas falsas suposições porque não é nada fácil convencer a todos sobre ele.

Espero que tenham gostado do artigo e que o compartilhem com seus amigos e pares. Sugerimos usar o atalho para as redes sociais que estão presentes ao final do texto ou indicar nosso endereço aos mesmos.

Atenção!
Se ficou dúvidas e quiser nosso parecer, use o espaço para comentários também disponível ao final da matéria, que vamos responder no menor prazo possível. Aproveitamos também para convidar o leitor a se cadastrar como seguidor deste site e assim sempre receber nossos artigos de forma gratuita e periódica.

Finalizando, agrademos muitíssimo a sua visita e apoio. Muito obrigado!

A Matemática Aqui é Simples e Descomplicada!