Divisão Proporcional

A divisão em partes proporcionais podem ser: DIRETAMENTE ou INVERSAMENTE proporcionais, ou seja:

Quando a divisão se der de forma diretamente proporcional, temos que, quanto menor o fator utilizado, menor será a parcela da divisão atribuída e quanto maior o fator utilizado, maior a parcela da divisão a ser atribuída.

 No caso de forma inversamente proporcional, temos que, quanto menor o fator utilizado, maior será o valor correspondente e vice-versa.

 No caso da figura acima, temos valores inversamente proporcionais se considerarmos coração e pessoa, pois a menor pessoa possui o maior coração e a maior possuir o menor coração.  Se considerarmos altura e pessoa, teremos valores diretamente proporcionais.

1) DIRETAMENTE PROPORCIONAL

 Podemos dividir em duas partes:

a) COM RELAÇÃO AO NÚMERO A SER DIVIDIDO
Se quisermos dividir o valor de R$ 13mil, proporcionalmente às idades de meus filhos de 3, 4 e 6 anos, queremos propor que o menor receberá menos e os maiores receberão mais, contudo em valores proporcionais às suas idades.  Então como fazer a divisão?

Devemos somar suas idades: 3+4+6 = 13

Aplicando uma regra de três simples: 

Idade do filho de 3 anos =x
13 ----------13.000,00             multipliquemos em cruz: 13.x=3.13000,00 --->13x=39000,00---->
3------------ x                          x=39000,00/13 ----> x=3.000,00
logo: meu filho de 3 anos receberá R$ 3.000,00

 idade do filho de 4 anos=y
13---------13000,00                multiplicando em cruz: 13y=4.13000,00 ---->13y=52000,00------>
4-----------y                            y=52.000,00/13 ------>y=4000,00       
logo, meu filho de 4 anos receberá R$ 4.000,00

 idade do filho de 6 anos=z
13--------13000,00                  analogamente, 13z=6.13000,00 ---> z=78000,00/13 -->z=6000,00
6-----------z 
logo, meu filho de 6 anos receberá: R$ 6.000,00, ou seja o dobro do filho de 3 anos.
Regra: O total a ser dividido está para a soma das partes proporcionais, assim como cada parte proporcional está para a parte que o representa.

Exercício resolvido.

Minha empresa recebeu um lucro de R$ 20mil, a ser dividido diretamente proporcionais, entre os meus empregados, os quais têm: 5, 10 e 20 anos de empresa.  Quanto deverá receber cada um?

 Somando as idades; 5+10+20= 35
Fazendo regra de três simples:

 Empregado de 5 anos=x
35-----------20000,00                    35x=5.20000,00--->x=100000,00/35 --->x=2.857,14
5-------------x

 Empregado de 10 anos=y
35-----------20000,00                    35y=10.20000,00--->y=200000,00/35 --->y=5.714,28
10-------------y

 Empregado de 20 anos=z
35-----------20000,00                    35z=20.20000,00--->z=400000,00/35 --->z=11.428,57
20-------------z
    
 b) COM RELAÇÃO ENTRE OS NÚMEROS PROPORCIONAIS.
Se uma pessoa dividiu uma fortuna entre 3 pessoas proporcionalmente às idades de 3, 5 e 8 anos e sabendo-se que primeira pessoa de 3 anos deverá receber 6.000,00 a menor que a segunda pessoa de 5 anos.  Então, quanto deverá ser o total da fortuna a ser dividida?  Ainda, quanto será o valor que cada uma delas receberá?

2ª pessoa = 5
1ª pessoa = 3
Diferença = 2 (5-3)

 Cálculo do valor da 2ª pessoa-x
Diferença: 2 ---------6.000,00
                   5----------x

 x.2 = 5.6000,00 ------>x= 30000,00/2 ---------->x = 15.000,00

 Cálculo do valor da 1ª pessoa=:y
Diferença: 2 ---------6.000,00
                   3----------y

 y.2 = 3.6000,00 ------> y = 18000,00/2 ---------->y= 9.000,00

 Cálculo do valor da 3ª pessoa=:z
Diferença: 2 ---------6.000,00
                   8----------z
   z.2 = 8.6000,00 ------> y = 48000,00/2 ---------->y= 24.000,00

Solução:  Valor da fortuna = 15mil+9mil+24mil = 48.000,00
                Valor de cada pessoa de 3, 5 e 8 anos respectivamente= {9mil, 15mil, 24mil}

Exercício c/ resposta.(qualquer dúvida, envie comentário que passamos a solução passo-a-passo).

Devo dividir um certo valor entre meus quatro colaboradores que têm: 2, 4, 7 e 10 anos de participação na empresa, sabendo-se que a diferença entre os mais velhos será de 10.000,00. 
Queremos saber:
a) Quanto será o valor total dividido?        b)Quanto receberá cada colaborador? 

Resposta: 
a) Valor total a ser dividido= 76.666,65
b) Colaboradores de 2,4,7 e 10 anos respectivamente receberão: {6.666,66, 13.333,33, 23.333,33, 33.333,00}

2) INVERSAMENTE PROPORCIONAL







Neste caso, quanto maior o valor ou a parte interessada na divisão, menor será o valor da parcela que caberá à mesma e vice-versa.
Usaremos neste caso, um artificio que será de inverter os termos do problema proposto,  para transformar assim o problema numa divisão diretamente proporcional, ou seja:

Exemplo: Divida o numero 2730 em partes inversamente proporcionais às frações: 3/5, 2/3 e 4/9.

 Invertendo os fatores e somando-se: 5/3+3/2+9/4 = (20+18+27)/12 = 65/12

Parte da Fração: 3/5 =x
65/12-----------2730
5/3--------------x

65/12 ---------2730
(5.4)/(3.4)-------x

65/12-----------2730        multipl.em cruz: 65x=20.2730 ----> x= 54600/65 --->x=840,00 
20/12-----------x

Parte da Fração: 2/3 =y
65/12-----------2730
3/2---------------y

65/12 ---------2730
(3.6)/(2.6)-------y

65/12-----------2730        multipl.em cruz: 65y=18.2730 ----> y= 49140/65 --->y=756,00 
18/12-----------y

Parte da Fração: 4/9 =z
65/12-----------2730
9/4--------------z

65/12 ---------2730
(9.3)/(4.3)-------z

65/12-----------2730        multipl.em cruz: 65z=27.2730 ----> z= 73710/65 --->z=1.134,00 
27/12-----------z

Resposta: Os valores inversamente proporcionais às frações: 3/5,2/3 e 4/9 serão respectivamente:{ 840,00: 756,00 e 1.134,00}

 Exercício com resposta.

 Dividir 4000 em partes inversamente proporcionais aos números: 3, 5 e 7?
(Dica: Os inversos de 3, 5 e 7 são: 1/3, 1/5 e 1/7)
Resposta: 1.971,83; 1.183,09 e 845,07
Observe que quanto menor a parte maior será a parcela dividida 
Teste "DP" com resposta na próxima postagem.

1) Dividir o número 7435 em partes inversamente proporcionais aos números: 4, 7 e 9.

2) Tenho três filhos com idades de 20, 14 e 10 anos.  Se quero repartir uma quantia de 100.000,00 em partes querendo que quanto menor a idade, maior a parcela a ser repartida proporcionalmente, quanto deverá receber cada um neste caso?

3) Tenho duas crianças que receberam 2.000,00 e 1.000,00 respectivamente diretamente proporcionais às suas idades.  Sabendo-se que a soma de suas idades vale 9, quais são as idades de cada um?  


 Bons Estudos





Sou o Professor Luiz Carlos Vivan, lecionei por vários anos a disciplina Matemática em várias escolas de ensino médio particulares e públicas do estado de São Paulo, autor dos artigos do Blog Recordando Matemática, sou especialista em Educação Matemática e também atuei no ramo bancário por 34 anos nas mais variadas funções administrativas e gerenciais. Nossa missão primordial com esse site educativo é divulgar e incentivar o estudo e o aprendizado dessa importante disciplina escolar. Aproveito para pedir que compartilhe e divulgue nossos artigos aos seu pares e amigos. Desde já agradecemos pela confiança e apoio.

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