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quarta-feira, 19 de março de 2014

Funções Trigonométricas: Seno e Cosseno

Função Seno


A função seno é uma função real e de variável real que a cada x Є Rfaz corresponder sen(x).

A função y=sen(x) é periódica, pois a partir de 2π começam a se repetir os seus valores, por isso seu período vale 2π.

Esta função tem as seguintes propriedades:

- Domínio – Todos os números Reais
- Função periódica com período = 2π
- Tem zeros em x= kπ, para cada k Є Z (ou seja ela, intersepta o eixo X do sistema cartesiano em todos esses pontos) 
- É positiva em ]2kπ, π+2kπ[ com kЄZ
- É negativa em ]π+2kπ, 2π+2kπ[
- Contradomínio: [-1, 1]
-  A função é impar;
-  A função é contínua no seu domínio

    Gráfico







    Como foi construído o gráfico acima.
    Vejamos na tabela alguns pontos:
    X
    Sen X
    0
    0
    π/2
    1
    π
    0
    3π/2
    -1
    0
    Para saber os valores inseridos, consulte uma tabela trigonométrica ou veja os valores na circunferência trigonométrica abaixo, com alguns dos principais ângulos:

    Circunferência trigonométrica - Ela tem raio 1 e origem (0,0) do sistema cartesiano.










    Para saber o valor do seno de um ângulo, veja o valor correspondente no eixo vertical (Oy) -Azul da figura acima.
    Exemplos: angulo 0º --->sen0º = 0, senπ/2=1, etc.

    Para saber o valor do cosseno de um ângulo, veja o valor correspondente no eixo horizontal (Ox)
    Exemplos: ângulo 0º ---> cos0º =1, cosπ/2=0, etc.


    Função Cosseno



    A função cosseno é uma função real e de variável x real que a cada x Є Rfaz corresponder cos(x).

    A função y = cos x é periódica, pois a partir de 2π começam a se repetir os seus valores, por isso seu período vale 2π.

    Esta função tem as seguintes propriedades:

    - Domínio – Todos os números Reais
    - Função periódica com período = 2π
    - Tem zeros em x= π/2 + kπ, para cada k Є Z (ou seja ela, intersepta o eixo x do sistema cartesiano em todos esses pontos) 
    - É positiva em ]-π/2+2kπ, π/2+2kπ[ com kЄZ
    - É negativa em ]π/2+2kπ, 3π/2+2kπ[ com kЄZ
    -  A função é par;
    -  A função é contínua no seu domínio
    - Contradomínio: [-1, 1]

    Gráfico da Função Cosseno







    Como foi construído o gráfico da função y = cos x acima.
    Vejamos na tabela alguns pontos:
    X
    Cos X
    0
    1
    π/2
    0
    π
    -1
    3π/2
    0
    1
    Para saber os valores inseridos, consulte uma tabela trigonométrica ou veja os valores na circunferência trigonométrica acima, com alguns dos principais ângulos.

    Exemplo
    Construa o gráfico da função: y= 2senx






    Solução:
    a) Vamos fazer uma tabela com alguns valores:
    X
    sen X
    2senX
    0
    0
    2.0=0
    π/2
    1
    2.1=2
    π
    0
    2.0=0
    3π/2
    -1
    2(-1)=-2
    0
    2.0=0
    b) Vamos marcar esses pontos no gráfico:











    Veja o gráfico completo gerado pelo programa Winplot:














    Domínio: Conjunto dos números Reais
    Imagem=[-2,2] 

    Note que pi (π) = 3,14...
    ..................................................................................................
    Exercícios:
    Construa o gráfico das funções abaixo e escreva o domínio e imagem das mesmas:
    1) y= 5senx
    2) y= -2senx
    3) f(x)= 3cosx
    4)y=-cosx
    Atenção: resposta na próxima postagem
    --------------------------------------------------------------------------------------------------
    Resposta dos exercícios da próxima postagem anterior (o nº pi)

    1) Quanto vale o comprimento da circunferência ou dos arcos com as seguintes dimensões:


    Comprimento = 2πR ou 2.(3,14).10 = 6,28.10 = 62,8 m





    Comprimento = 2πR ou 2.(3,14).50/2 = 6,28.50/2 = 314/2 = 157 m






    Comprimento = πR ou 3,14.5 = 15,7 m




    Comprimento = πR\2 ou 3,14.10/2 = 31,4/2 = 15,7 m






    2) Sabendo-se que o comprimento de uma circunferência vale 125,60 metros, qual a medida de seu diâmetro?
    Solução: Comprimento = 2πR = 125,6 e Diâmetro = 2R
    2R =125,6/pi --->2R= 125,6/3,14= 40 m
    Portanto: Diâmetro = 40 metros. 


    3) Calcule a área hachurada em azul na letra (a )e a área em branco em (b) das seguintes figuras:









    Soluções:
    a) S=Área Hachurada = área circunferência menos a área do quadrado, então:
    nota - área do quadrado = diagonal² dividido por 2
    S = 3,14.10² - 20²(diagonal²)/2
    S= 3,14.100 -400/2 = 314-200 = 114 m²

    b) Sb= Área em branco da figura b, ou Sb é: área da circunferência - área triângulo, então:
    Sb = pi R²-B.H/2 ou 3,14.10² - 10.10/2 = 3,14.100 - 10.5 = 314-50 = 264 m²
    (observe que a área do triângulo é base pela altura dividido por 2)
    -----------------------------------------------------------------------------------------------------
    Bons Estudos







    2 comentários:

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