Funções Trigonométricas: Seno e Cosseno

Função Seno

A função seno é uma função real e de variável real que a cada x Є R, faz corresponder sen(x).

A função y=sen(x) é periódica, pois a partir de 2π começam a se repetir os seus valores, por isso seu período vale 2π.

Esta função tem as seguintes propriedades:

- Domínio – Todos os números Reais

- Função periódica com período = 2π

- Tem zeros em x= kπ, para cada k Є Z (ou seja ela, intersepta o eixo X do sistema cartesiano em todos esses pontos) 

- É positiva em ]2kπ, π+2kπ[ com kЄZ

- É negativa em ]π+2kπ, 2π+2kπ[

- Contradomínio: [-1, 1]
-  A função é impar;
-  A função é contínua no seu domínio

Gráfico

Como foi construído o gráfico acima.
Vejamos na tabela alguns pontos:

X	Sen X
0	0
π/2	1
π	0
3π/2	-1
2π	0

Para saber os valores inseridos, consulte uma tabela trigonométrica ou veja os valores na circunferência trigonométrica abaixo, com alguns dos principais ângulos:

Circunferência trigonométrica - Ela tem raio 1 e origem (0,0) do sistema cartesiano.

Para saber o valor do seno de um ângulo, veja o valor correspondente no eixo vertical (Oy) -Azul da figura acima.

Exemplos: angulo 0º --->sen0º = 0, senπ/2=1, etc.

Para saber o valor do cosseno de um ângulo, veja o valor correspondente no eixo horizontal (Ox)

Exemplos: ângulo 0º ---> cos0º =1, cosπ/2=0, etc.


Função Cosseno

A função cosseno é uma função real e de variável x real que a cada x Є R, faz corresponder cos(x).

A função y = cos x é periódica, pois a partir de 2π começam a se repetir os seus valores, por isso seu período vale 2π.

Esta função tem as seguintes propriedades:

- Domínio – Todos os números Reais

- Função periódica com período = 2π

- Tem zeros em x= π/2 + kπ, para cada k Є Z (ou seja ela, intersepta o eixo x do sistema cartesiano em todos esses pontos) 

- É positiva em ]-π/2+2kπ, π/2+2kπ[ com kЄZ

- É negativa em ]π/2+2kπ, 3π/2+2kπ[ com kЄZ
-  A função é par;
-  A função é contínua no seu domínio

- Contradomínio: [-1, 1]

Gráfico da Função Cosseno

Como foi construído o gráfico da função y = cos x acima.
Vejamos na tabela alguns pontos:

X	Cos X
0	1
π/2	0
π	-1
3π/2	0
2π	1

Para saber os valores inseridos, consulte uma tabela trigonométrica ou veja os valores na circunferência trigonométrica acima, com alguns dos principais ângulos.

Exemplo
Construa o gráfico da função: y= 2senx






Solução:
a) Vamos fazer uma tabela com alguns valores:

X	sen X	2senX
0	0	2.0=0
π/2	1	2.1=2
π	0	2.0=0
3π/2	-1	2(-1)=-2
2π	0	2.0=0

b) Vamos marcar esses pontos no gráfico:

Veja o gráfico completo gerado pelo programa Winplot:

Domínio: Conjunto dos números Reais
Imagem=[-2,2] 

Note que pi (π) = 3,14...
..................................................................................................
Exercícios:
Construa o gráfico das funções abaixo e escreva o domínio e imagem das mesmas:
1) y= 5senx
2) y= -2senx
3) f(x)= 3cosx
4)y=-cosx
Atenção: resposta na próxima postagem
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Resposta dos exercícios da próxima postagem anterior (o nº pi)

1) Quanto vale o comprimento da circunferência ou dos arcos com as seguintes dimensões:

Comprimento = 2πR ou 2.(3,14).10 = 6,28.10 = 62,8 m

Comprimento = 2πR ou 2.(3,14).50/2 = 6,28.50/2 = 314/2 = 157 m

Comprimento = πR ou 3,14.5 = 15,7 m

Comprimento = πR\2 ou 3,14.10/2 = 31,4/2 = 15,7 m

2) Sabendo-se que o comprimento de uma circunferência vale 125,60 metros, qual a medida de seu diâmetro?

Solução: Comprimento = 2πR = 125,6 e Diâmetro = 2R

2R =125,6/pi --->2R= 125,6/3,14= 40 m

Portanto: Diâmetro = 40 metros. 

3) Calcule a área hachurada em azul na letra (a )e a área em branco em (b) das seguintes figuras:

Soluções:

a) S=Área Hachurada = área circunferência menos a área do quadrado, então:

nota - área do quadrado = diagonal² dividido por 2

S = 3,14.10² - 20²(diagonal²)/2

S= 3,14.100 -400/2 = 314-200 = 114 m²

b) Sb= Área em branco da figura b, ou Sb é: área da circunferência - área triângulo, então:

Sb = pi R²-B.H/2 ou 3,14.10² - 10.10/2 = 3,14.100 - 10.5 = 314-50 = 264 m²

(observe que a área do triângulo é base pela altura dividido por 2)

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Bons Estudos