A Equação da Reta

Na Geometria Analítica, uma reta possui representação geométrica no plano cartesiano e pode ser representada por uma equação.

Euclides, em seus teoremas e postulados, nos mostra que uma reta passa por infinitos pontos e que por dois pontos passa somente uma única reta.

Partindo desse princípio, estabelecemos que  uma reta é composta por infinitos pontos, os quais são colineares ou estão seja estão todos alinhados. Podemos constituir sua equação geral, partindo da definição de localização de dois pontos pertencentes à reta r no plano: Seja um ponto A de coordenadas (x₁,y₁), um ponto B de coordenadas (x₂,y₂) e um ponto geral Q (x,y) 

Usaremos a seguinte matriz na definição da equação geral da reta:

Observação: Colocaremos os três pontos mencionados acima da reta exatamente na 1ª e 2ª  e na 3ª linha de uma matriz e na 3ª coluna desta matriz completamos com a unidade. 

Desenvolvendo o determinante da matriz, encontraremos a equação geral da reta.

Esquema para resolver o determinante:
Para o cálculo do determinante da matriz acima, colocamos os dados da matriz e repetimos do lado direito a 1ª e 2ª coluna desta matriz, para em seguida fazer os cálculos conforme descrito abaixo.

(Multiplicamos os elementos das diagonais principais e somamos) e (multiplicamos os elementos das diagonais secundárias subtraindo-os) e igualamos esse resultado que é o determinante da matriz a zero: 
Veja como fica: →→→→→
x₁y₂ + xy₁ + x₂y – xy₂ – x₂y₁ – x₁y = 0 
x(y₁ – y₂) + y(x₂ – x₁) + (x₁y₂ – x₂y₁) = 0 

Os valores em x e y são números reais, então podemos considerar a seguinte situação: 
y₁ – y₂ = a 
x₂ – x₁ = b 
x₁y₂ – x₂y₁ = c 

Então, a equação geral da reta: ax + by + c = 0 

Exemplos:

1) Determine a equação geral da reta r que passa pelos pontos P(1,1) e Q(4,6). 

Desenvolvendo o determinante, temos:

1*6*1 + 1*1*x + 1*4*y – 1*6*x – 1*4*1 – 1*y*1 = 0 
6 + x + 4y – 6x – 4 – y = 0 
– 5x + 3y – 2 = 0 

– 5x + 3y + 2 = 0: equação geral da reta que passa pelos pontos P(1,1) e X(4,6) 

2) Encontre a equação geral de uma reta t, a qual passa pelos pontos S(0,0) e Q(2,1).

Montamos a matriz, colocando seu determinante igual a zero: 

Em amarelo logo abaixo, colocamos os seus pontos e repetimos a 1ª e 2ª colunas a direita, para efetuarmos os cálculos conforme já foi comentado anteriormente.

Achando o determinante da matriz e igualando-o a zero, teremos:

2y-x= 0  → 2y= x ou y = x/2

Observações: 
1) Quando a equação da reta passar pela origem, ou seja pelo ponto (o,o), ela será do tipo y=ax, com a­­≠0.    
2) Chamamos o valor atribuido ao "a" de coeficiente angular.  Nos exemplos verificados no topo desta postagem, toda as retas são do tipo y= mx e passam pela origem do sistema cartesiano, onde m é o coeficiente angular, o qual faz o mesmo sentido que o "a" na equação aqui mencionada. 

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