A Equação da Reta
Na Geometria Analítica, uma reta possui representação geométrica no plano cartesiano e pode ser representada por uma equação.
Euclides, em seus teoremas e postulados, nos mostra que uma reta passa por infinitos pontos e que por dois pontos passa somente uma única reta.
Partindo desse princípio, estabelecemos que uma reta é composta por infinitos pontos, os quais são colineares ou estão seja estão todos alinhados. Podemos constituir sua equação geral, partindo da definição de localização de dois pontos pertencentes à reta r no plano: Seja um ponto A de coordenadas (x1,y1), um ponto B de coordenadas (x2,y2) e um ponto geral Q (x,y)
Usaremos a seguinte matriz na definição da equação geral da reta:
Observação: Colocaremos os três pontos mencionados acima da reta exatamente na 1ª e 2ª e na 3ª linha de uma matriz e na 3ª coluna desta matriz completamos com a unidade.
Desenvolvendo o determinante da matriz, encontraremos a equação geral da reta.
Esquema para resolver o determinante:
Para o cálculo do determinante da matriz acima, colocamos os dados da matriz e repetimos do lado direito a 1ª e 2ª coluna desta matriz, para em seguida fazer os cálculos conforme descrito abaixo.
Para o cálculo do determinante da matriz acima, colocamos os dados da matriz e repetimos do lado direito a 1ª e 2ª coluna desta matriz, para em seguida fazer os cálculos conforme descrito abaixo.
(Multiplicamos os elementos das diagonais principais e somamos) e (multiplicamos os elementos das diagonais secundárias subtraindo-os) e igualamos esse resultado que é o determinante da matriz a zero:
Veja como fica: →→→→→
x1y2 + xy1 + x2y – xy2 – x2y1 – x1y = 0
x(y1 – y2) + y(x2 – x1) + (x1y2 – x2y1) = 0
Os valores em x e y são números reais, então podemos considerar a seguinte situação:
y1 – y2 = a
x2 – x1 = b
x1y2 – x2y1 = c
Então, a equação geral da reta: ax + by + c = 0
Exemplos:
Veja como fica: →→→→→
x1y2 + xy1 + x2y – xy2 – x2y1 – x1y = 0
x(y1 – y2) + y(x2 – x1) + (x1y2 – x2y1) = 0
Os valores em x e y são números reais, então podemos considerar a seguinte situação:
y1 – y2 = a
x2 – x1 = b
x1y2 – x2y1 = c
Então, a equação geral da reta: ax + by + c = 0
Exemplos:
1) Determine a equação geral da reta r que passa pelos pontos P(1,1) e Q(4,6).
Desenvolvendo o determinante, temos:
1*6*1 + 1*1*x + 1*4*y – 1*6*x – 1*4*1 – 1*y*1 = 0
6 + x + 4y – 6x – 4 – y = 0
– 5x + 3y – 2 = 0
– 5x + 3y + 2 = 0: equação geral da reta que passa pelos pontos P(1,1) e X(4,6)
6 + x + 4y – 6x – 4 – y = 0
– 5x + 3y – 2 = 0
– 5x + 3y + 2 = 0: equação geral da reta que passa pelos pontos P(1,1) e X(4,6)
2) Encontre a equação geral de uma reta t, a qual passa pelos pontos S(0,0) e Q(2,1).
Em amarelo logo abaixo, colocamos os seus pontos e repetimos a 1ª e 2ª colunas a direita, para efetuarmos os cálculos conforme já foi comentado anteriormente.
Achando o determinante da matriz e igualando-o a zero, teremos:
2y-x= 0 → 2y= x ou y = x/2Observações:
1) Quando a equação da reta passar pela origem, ou seja pelo ponto (o,o), ela será do tipo y=ax, com a≠0.
2) Chamamos o valor atribuido ao "a" de coeficiente angular. Nos exemplos verificados no topo desta postagem, toda as retas são do tipo y= mx e passam pela origem do sistema cartesiano, onde m é o coeficiente angular, o qual faz o mesmo sentido que o "a" na equação aqui mencionada.
A Matemática Aqui é Simples e Descomplicada! |
Prof.Luiz
ResponderExcluirGostei muito da forma como abordou o assunto.
Um abraço!
Assunto muito bem explicado.
ResponderExcluirMeus cumprimentos!
Agradecemos aos elogios prestados e desejamos sucesso e bons estudos a todos.
ResponderExcluirGostei! Manda agora aquela explicação VIP sobre sistema de equações lineares, e na sequência... Uma Transformada de Laplace!
ResponderExcluirCURTOMUITO!!!
Josmar Barbosa, que bom que gostou. Já anotei suas sugestões e em breve vamos preparar novas postagens sobre os assuntos.
ExcluirUm grande abraço!