Noções de Lógica

I) Proposição ou Sentença: Notação: (p)

É toda oração declarativa que pode ser verdadeira (V) ou falsa (F).

Ela apresenta três características:
1. Sendo uma oração ela tem sujeito e predicado;

2. É declarativa (não é exclamativa nem interrogativa);

3. Ela tem um e somente um dos dois valores lógicos, ou seja é verdadeira ou falsa.

Exemplos:
a) 9#5           b) 7>3           c) 2ЄZ       d) 3|11            e) Z C Q, onde C significa está contido.

Nota: Todas proposições são verdadeiras, exceto a "d" pois 3 não é divisível por 11.

Não exemplos:

f) 3.5 +1   (falta predicado)      g)√2ЄQ? (interrogativa)    h) 3x -1 =11 (não pode ser classificada como verdadeira ou falsa)

II) Negação de uma preposição p. Notação: (~p)

A partir de uma preposição "p" qualquer, podemos construir outra preposição denominada NEGAÇÃO DE "p" e indicada por ~ p  

Exemplos:

a) p: 9#5 ~p: 9=5    b) p: 7>3  ~p:  7<=3    c) p: 2 Є Z  ~p: 2 ∉ Z    d) p: 3|11  ~p: 3 não é divisível por 11
e) p: Z C Q  ~p: Z Ë Q

Critério de Classificação
A preposição ~p tem sempre valor oposto a p, ou seja,  ~p é verdadeira quando p é falsa e ~p é falsa quando p é verdadeira.
Sendo assim, nos exemplos acima ~p é verdadeira em (d) e falsa nos demais.

Exercícios
1) Quais das sentenças abaixo são proposições?   Em caso afirmativo, quais são verdadeiras?
a) 5.4 = 20             b) 5-4=3            c) 2+7.3 = 5.4+3          d) 5(3+1) = 5.3+5.1             e) 1+3#1+6 
f) (-2)^5>=(-2)³     g) 3+4 >0           h) 11-4.2
Resposta: Todas elas são proposições, exceto a letra "h"(incompleta)
                Todas são verdadeiras, exceto as letras: b, f, h 

2) Qual a negação de cada preposição e quais negações são verdadeiras?
a) 3.7=21  ................................ ~p: 3.7 #21 (F)           
b) 3.(11-7)#5...........................  ~p: 3.(11-7)=5 (F)
c) 3.2+1>4...............................   ~p: 3.2+1<=4 (F)
d) 5.7-2 <=5+6.......................    ~p:  5.7-2 >5+6 (V)
e) (1/2)^7<(1/2)³.....................  ~p:  (1/2)^7>=(1/2)³ (F)
f) √2<1....................................   ~p: √2>=1 (V)

II) Proposição Composta







A partir das proposições já abordadas, podemos construír novas propostas, mediante o emprego de dois símbolos lógicos que chamamos de conectivos:  ^ (lê-se e)  e  ᵛ (lê-se ou)

a) Conectivo ^ (e)

Esse simbolo quando é usado entre duas proposições p e q, forma outra proposição p^q.

Exemplos:
1) p: 2>0 V, q: 2#1 V → p^q: 2>0 e 2#1 V

2) p: -2<-1 V,  q: -2² <-1²  F  → p^q: -2<-1 e  -2² <-1²  F

3) p: Um quadrado de lado a tem sua diagonal igual a: 2a    F, q: Um quadrado de lado "a" tem área a²  V
então: p^q: Um quadrado de lado a tem área de a² e diagonal que mede 2a  F.

Critério do valor lógico de  "p^q" para apurar se é falso(F) ou verdadeiro(V)

p	q	p^q:
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

b) Conectivo  ᵛ (ou)

Quando esse símbolo for usado entre duas proposições, formamos uma proposição "pvq".

Exemplos:

1) p: 5>0  V,  q: 5>1  V →  pvq: 5>0 ou 5>1  V
2) p: 3=3  V,  q: 3<3  F →  pvq: 3=3 ou 3<3   V
3) p: 10 é número primo  F,   q: 10 é número composto  V   → pvq: 10 é número primo ou 10 é número composto  V
4) p: 2² < 3²  F,   q: 3³ > 4³  F → pvq:  2² < 3²  ou  3³ > 4³  F

Critério para saber se "pvq" é falso ou verdadeiro

p	q	pᵛq:
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

III) Condicionais

São alguns símbolos que, quando colocados anexos a algumas proposições, impõe as condições a seguir mencionadas:
a) Símbolo → : Quando for colocado entre duas proposições p e q, ou seja: p→q (lê-se: Se p, então q) nos diz que p é condição necessária para que q seja válida e q é condição suficiente para p.

Exemplos:

1. p: 2|2(dois é divisível por 2) V, q: 4|12(quatro é divisível por 12) F, então: p→q: 2|2 →4|12  F
  
2. p: 10= 5.2 V, q: 20|10(vinte é divisível por 10) V, p→q: 10=5.2→20|10 V 

3. p: 5<2 F, q: 2ЄZ V, então: p→q: 5<2→2ЄZ V

4. p: 7<=3 F, q: 3=6.2 F, então: p→q:  7<=3 → q: 3=6.2 V

Critério para atribuição para falso ou verdadeiro

p	q	p→q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

b) Condicional ↔: Quando colocamos o conectivo ↔ entre duas proposições p e q, obtemos outra proposição p↔q (lê-se: p se e somente se q) 

Exemplos:

1. p: 2|12 (dois é divisível por 12) F, q: 2.7|12.7 F, então: p↔q:  2/12 ↔2.7|12.7 V

2. p: 3/2 = 6/4 V, q: 3.4 #6.2 F, então: p↔q:  3/2 = 6/4↔ 3.4 #6.2 F

3. p: 6=12÷3 F, q: 3.6=18 V, então p↔q: 6=12÷3 ↔ 3.6=18  F

4. p: 4<=3 F, q: 4.5 <=3.5 F, então: p↔q: 4<=3 ↔4.5 <=3.5 V

5. p: 2>=2 V, q: 12|3(doze é divisível por 3) V, então: p↔q: 2>=2 ↔ 12|3 V

Critério de verificação do condicional p↔q, como falso ou verdadeiro:

p	q	p→q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Bons Estudos

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