Noções de Lógica
I) Proposição ou Sentença: Notação: (p)
É toda oração declarativa que pode ser verdadeira (V) ou falsa (F).
Ela apresenta três características:
1. Sendo uma oração ela tem sujeito e predicado;
2. É declarativa (não é exclamativa nem interrogativa);
3. Ela tem um e somente um dos dois valores lógicos, ou seja é verdadeira ou falsa.
Exemplos:
a) 9#5 b) 7>3 c) 2ЄZ d) 3|11 e) Z C Q, onde C significa está contido.
Nota: Todas proposições são verdadeiras, exceto a "d" pois 3 não é divisível por 11.
Não exemplos:
f) 3.5 +1 (falta predicado) g)√2ЄQ? (interrogativa) h) 3x -1 =11 (não pode ser classificada como verdadeira ou falsa)
II) Negação de uma preposição p. Notação: (~p)
A partir de uma preposição "p" qualquer, podemos construir outra preposição denominada NEGAÇÃO DE "p" e indicada por ~ p
Exemplos:
a) p: 9#5 ~p: 9=5 b) p: 7>3 ~p: 7<=3 c) p: 2 Є Z ~p: 2 ∉ Z d) p: 3|11 ~p: 3 não é divisível por 11
e) p: Z C Q ~p: Z Ë Q
Critério de Classificação
A preposição ~p tem sempre valor oposto a p, ou seja, ~p é verdadeira quando p é falsa e ~p é falsa quando p é verdadeira.
Sendo assim, nos exemplos acima ~p é verdadeira em (d) e falsa nos demais.
Exercícios
1) Quais das sentenças abaixo são proposições? Em caso afirmativo, quais são verdadeiras?
a) 5.4 = 20 b) 5-4=3 c) 2+7.3 = 5.4+3 d) 5(3+1) = 5.3+5.1 e) 1+3#1+6
f) (-2)^5>=(-2)³ g) 3+4 >0 h) 11-4.2
Resposta: Todas elas são proposições, exceto a letra "h"(incompleta)
Todas são verdadeiras, exceto as letras: b, f, h
2) Qual a negação de cada preposição e quais negações são verdadeiras?
a) 3.7=21 ................................ ~p: 3.7 #21 (F)
b) 3.(11-7)#5........................... ~p: 3.(11-7)=5 (F)
c) 3.2+1>4............................... ~p: 3.2+1<=4 (F)
d) 5.7-2 <=5+6....................... ~p: 5.7-2 >5+6 (V)
e) (1/2)^7<(1/2)³..................... ~p: (1/2)^7>=(1/2)³ (F)
f) √2<1.................................... ~p: √2>=1 (V)
II) Proposição Composta
A partir das proposições já abordadas, podemos construír novas propostas, mediante o emprego de dois símbolos lógicos que chamamos de conectivos: ^ (lê-se e) e ᵛ (lê-se ou)
a) Conectivo ^ (e)
Esse simbolo quando é usado entre duas proposições p e q, forma outra proposição p^q.
Exemplos:
1) p: 2>0 V, q: 2#1 V → p^q: 2>0 e 2#1 V
2) p: -2<-1 V, q: -2² <-1² F → p^q: -2<-1 e -2² <-1² F
3) p: Um quadrado de lado a tem sua diagonal igual a: 2a F, q: Um quadrado de lado "a" tem área a² V
então: p^q: Um quadrado de lado a tem área de a² e diagonal que mede 2a F.
Critério do valor lógico de "p^q" para apurar se é falso(F) ou verdadeiro(V)
b) Conectivo ᵛ (ou)
Quando esse símbolo for usado entre duas proposições, formamos uma proposição "pvq".
Exemplos:
1) p: 5>0 V, q: 5>1 V → pvq: 5>0 ou 5>1 V
2) p: 3=3 V, q: 3<3 F → pvq: 3=3 ou 3<3 V
3) p: 10 é número primo F, q: 10 é número composto V → pvq: 10 é número primo ou 10 é número composto V
4) p: 2² < 3² F, q: 3³ > 4³ F → pvq: 2² < 3² ou 3³ > 4³ F
Critério para saber se "pvq" é falso ou verdadeiro
III) Condicionais
São alguns símbolos que, quando colocados anexos a algumas proposições, impõe as condições a seguir mencionadas:
a) Símbolo → : Quando for colocado entre duas proposições p e q, ou seja: p→q (lê-se: Se p, então q) nos diz que p é condição necessária para que q seja válida e q é condição suficiente para p.
Exemplos:
1. p: 2|2(dois é divisível por 2) V, q: 4|12(quatro é divisível por 12) F, então: p→q: 2|2 →4|12 F
2. p: 10= 5.2 V, q: 20|10(vinte é divisível por 10) V, p→q: 10=5.2→20|10 V
3. p: 5<2 F, q: 2ЄZ V, então: p→q: 5<2→2ЄZ V
4. p: 7<=3 F, q: 3=6.2 F, então: p→q: 7<=3 → q: 3=6.2 V
Critério para atribuição para falso ou verdadeiro
b) Condicional ↔: Quando colocamos o conectivo ↔ entre duas proposições p e q, obtemos outra proposição p↔q (lê-se: p se e somente se q)
Exemplos:
1. p: 2|12 (dois é divisível por 12) F, q: 2.7|12.7 F, então: p↔q: 2/12 ↔2.7|12.7 V
2. p: 3/2 = 6/4 V, q: 3.4 #6.2 F, então: p↔q: 3/2 = 6/4↔ 3.4 #6.2 F
3. p: 6=12÷3 F, q: 3.6=18 V, então p↔q: 6=12÷3 ↔ 3.6=18 F
4. p: 4<=3 F, q: 4.5 <=3.5 F, então: p↔q: 4<=3 ↔4.5 <=3.5 V
5. p: 2>=2 V, q: 12|3(doze é divisível por 3) V, então: p↔q: 2>=2 ↔ 12|3 V
Critério de verificação do condicional p↔q, como falso ou verdadeiro:
Bons Estudos
É toda oração declarativa que pode ser verdadeira (V) ou falsa (F).
Ela apresenta três características:
1. Sendo uma oração ela tem sujeito e predicado;
2. É declarativa (não é exclamativa nem interrogativa);
3. Ela tem um e somente um dos dois valores lógicos, ou seja é verdadeira ou falsa.
Exemplos:
a) 9#5 b) 7>3 c) 2ЄZ d) 3|11 e) Z C Q, onde C significa está contido.
Nota: Todas proposições são verdadeiras, exceto a "d" pois 3 não é divisível por 11.
Não exemplos:
f) 3.5 +1 (falta predicado) g)√2ЄQ? (interrogativa) h) 3x -1 =11 (não pode ser classificada como verdadeira ou falsa)
II) Negação de uma preposição p. Notação: (~p)
A partir de uma preposição "p" qualquer, podemos construir outra preposição denominada NEGAÇÃO DE "p" e indicada por ~ p
Exemplos:
a) p: 9#5 ~p: 9=5 b) p: 7>3 ~p: 7<=3 c) p: 2 Є Z ~p: 2 ∉ Z d) p: 3|11 ~p: 3 não é divisível por 11
e) p: Z C Q ~p: Z Ë Q
Critério de Classificação
A preposição ~p tem sempre valor oposto a p, ou seja, ~p é verdadeira quando p é falsa e ~p é falsa quando p é verdadeira.
Sendo assim, nos exemplos acima ~p é verdadeira em (d) e falsa nos demais.
Exercícios
1) Quais das sentenças abaixo são proposições? Em caso afirmativo, quais são verdadeiras?
a) 5.4 = 20 b) 5-4=3 c) 2+7.3 = 5.4+3 d) 5(3+1) = 5.3+5.1 e) 1+3#1+6
f) (-2)^5>=(-2)³ g) 3+4 >0 h) 11-4.2
Resposta: Todas elas são proposições, exceto a letra "h"(incompleta)
Todas são verdadeiras, exceto as letras: b, f, h
2) Qual a negação de cada preposição e quais negações são verdadeiras?
a) 3.7=21 ................................ ~p: 3.7 #21 (F)
b) 3.(11-7)#5........................... ~p: 3.(11-7)=5 (F)
c) 3.2+1>4............................... ~p: 3.2+1<=4 (F)
d) 5.7-2 <=5+6....................... ~p: 5.7-2 >5+6 (V)
e) (1/2)^7<(1/2)³..................... ~p: (1/2)^7>=(1/2)³ (F)
f) √2<1.................................... ~p: √2>=1 (V)
II) Proposição Composta
A partir das proposições já abordadas, podemos construír novas propostas, mediante o emprego de dois símbolos lógicos que chamamos de conectivos: ^ (lê-se e) e ᵛ (lê-se ou)
a) Conectivo ^ (e)
Esse simbolo quando é usado entre duas proposições p e q, forma outra proposição p^q.
Exemplos:
1) p: 2>0 V, q: 2#1 V → p^q: 2>0 e 2#1 V
2) p: -2<-1 V, q: -2² <-1² F → p^q: -2<-1 e -2² <-1² F
3) p: Um quadrado de lado a tem sua diagonal igual a: 2a F, q: Um quadrado de lado "a" tem área a² V
então: p^q: Um quadrado de lado a tem área de a² e diagonal que mede 2a F.
Critério do valor lógico de "p^q" para apurar se é falso(F) ou verdadeiro(V)
p
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q
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p^q:
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V
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V
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V
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V
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F
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F
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F
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V
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F
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F
|
F
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F
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b) Conectivo ᵛ (ou)
Quando esse símbolo for usado entre duas proposições, formamos uma proposição "pvq".
Exemplos:
1) p: 5>0 V, q: 5>1 V → pvq: 5>0 ou 5>1 V
2) p: 3=3 V, q: 3<3 F → pvq: 3=3 ou 3<3 V
3) p: 10 é número primo F, q: 10 é número composto V → pvq: 10 é número primo ou 10 é número composto V
4) p: 2² < 3² F, q: 3³ > 4³ F → pvq: 2² < 3² ou 3³ > 4³ F
Critério para saber se "pvq" é falso ou verdadeiro
p
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q
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pᵛq:
|
V
|
V
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V
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V
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F
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V
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F
|
V
|
V
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F
|
F
|
F
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III) Condicionais
São alguns símbolos que, quando colocados anexos a algumas proposições, impõe as condições a seguir mencionadas:
a) Símbolo → : Quando for colocado entre duas proposições p e q, ou seja: p→q (lê-se: Se p, então q) nos diz que p é condição necessária para que q seja válida e q é condição suficiente para p.
Exemplos:
1. p: 2|2(dois é divisível por 2) V, q: 4|12(quatro é divisível por 12) F, então: p→q: 2|2 →4|12 F
2. p: 10= 5.2 V, q: 20|10(vinte é divisível por 10) V, p→q: 10=5.2→20|10 V
3. p: 5<2 F, q: 2ЄZ V, então: p→q: 5<2→2ЄZ V
4. p: 7<=3 F, q: 3=6.2 F, então: p→q: 7<=3 → q: 3=6.2 V
Critério para atribuição para falso ou verdadeiro
p
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q
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p→q
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V
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V
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V
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V
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F
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F
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F
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V
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V
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F
|
F
|
V
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b) Condicional ↔: Quando colocamos o conectivo ↔ entre duas proposições p e q, obtemos outra proposição p↔q (lê-se: p se e somente se q)
Exemplos:
1. p: 2|12 (dois é divisível por 12) F, q: 2.7|12.7 F, então: p↔q: 2/12 ↔2.7|12.7 V
2. p: 3/2 = 6/4 V, q: 3.4 #6.2 F, então: p↔q: 3/2 = 6/4↔ 3.4 #6.2 F
3. p: 6=12÷3 F, q: 3.6=18 V, então p↔q: 6=12÷3 ↔ 3.6=18 F
4. p: 4<=3 F, q: 4.5 <=3.5 F, então: p↔q: 4<=3 ↔4.5 <=3.5 V
5. p: 2>=2 V, q: 12|3(doze é divisível por 3) V, então: p↔q: 2>=2 ↔ 12|3 V
Critério de verificação do condicional p↔q, como falso ou verdadeiro:
p
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q
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p→q
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V
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V
|
V
|
V
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F
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F
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F
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V
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F
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F
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F
|
V
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A Matemática Aqui é Simples e Descomplicada! |
Muito grato pela simplicidade exposta nesta matéria que foi sempre muito confusa pra mim.
ResponderExcluirA hug for you.
Obrigado.
ResponderExcluirUm grande abraço pra você também!