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quarta-feira, 7 de maio de 2014

Derivada

Derivada é a principal ferramenta utilizada pela Matemática para o cálculo e o estudo das taxas de variação de uma dada função.

Vamos entender como isso funciona?

Revisando, o que é a tangente de um triângulo retângulo (conteúdo da 8ª série EF).  No Ensino Fundamental, aprendemos que: dado um triângulo retângulo qualquer como o que está na figura abaixo, temos que: o lado oposto ao angulo reto é a hipotenusa; e com relação aos ângulos agudos, temos os catetos opostos e os adjacentes ... A tangente de um ângulo agudo no triângulo retângulo equivale a medida do cateto oposto a esse ângulo, dividido pela medida do cateto adjacente ao mesmo ângulo.












Em resumo: A tangente do ângulo ß = cateto oposto / cateto adjacente

Usando esse mesmo raciocínio, vamos verificar que, geometricamente, entre a função f(x) e a reta secante (a reta que corta a curva em dois pontos de f(x)), podemos encontrar um triângulo retângulo, cujo ângulo que a reta faz com o eixo Ox, que vamos chamar de ß, conforme você pode observar nos gráficos abaixo:















Observe que se ligarmos os dois pontos de intersecção da curva e da reta secante com outro ponto contido no segmento perpendicular do prolongamento do ponto x+h (ver figura abaixo), visualizamos um triângulo retângulo com ângulo agudo ß; e que se tomarmos um intervalo menor da reta em que a curva é cortada (ou menor valor de h), menor será o triângulo retângulo, porém o ângulo ß permanecerá sempre o mesmo e o valor de sua tangente vai se tornando cada vez mais próximo do valor no ponto x, à medida que o valor h vai se aproximando de zero.
Verifique na figura abaixo, que o ângulo ß tem sempre a mesma medida em todos os triângulos retângulos que possam ser visualizados nestas condições já retratadas.


Resumidamente, quando diminuímos o valor de h, os triângulos retângulos que são formados pela reta secante e a curva f(x), vão também ficando cada vez menores e o valor das tangentes do ângulo ß também vão ficando cada vez menores, e assim sucessivamente ou seja, quando h→0 (quando h se aproxima de zero, x+h também se aproxima de x). Podemos dizer então que limite de  f(x+h) -f(x) / h ficará sendo a tangente do ângulo ß quando h→0, que chamamos derivada da função f(x) no ponto x.
Notação: Representamos a tangente do ângulo ß de simplesmente f' '(x) ou também como a derivada da função f no ponto x.

Resumidamente, podemos escrever:
f '(x) = lim f(x+h) - f(x) / h, quando h→0

Exemplos:






1. Encontrar a derivada da função f(x) = 2x, usando da definição.
f '(x) = lim f(x+h) - f(x) / h, quando h→0
lim f(x+h) -f(x)/h = 2(x+h) -2x /h , com h→0= 
lim 2x+2h-2x / h, com h→0 = 
lim 2h/h, com h→0 = 2

2. Ache a derivada de f(x) = x², usando da definição.
f '(x) = lim f(x+h) - f(x) / h, quando h→0
f '(x) =lim f(x+h)-f(x) /h, com h→0
= lim (x+h)² -x² /h
= lim x²+2xh+h²-x² /h
= lim 2xh+h² /h
=lim h(2x+h)/h
=lim 2x+h (como h→0) 
=2x

REGRA PRÁTICAS USADAS NO CÁLCULO DAS DERIVADAS

Em nosso cotidiano fica difícil o cálculo de algumas derivadas usando a definição, então vamos abordar algumas regras que nos ajudam muito neste trabalho.


Notações: A derivada de uma função f (x), pode ser definida por f '(x) ou Dx f(x) ou df(x)/dx, etc.

Preferimos usar f '(x) quando nossa função for f (x), ou y'(x) quando a função for y(x), ou usamos g'(x) quando temos a função g(x), etc.

1) Se tivermos uma função constante, sua derivada será sempre zero;
Exemplos: y= c →y' =0, sendo c uma constante real qualquer.
f(x) = 20 →f '(x) = 0

2) Se y= x → y'= 1 ou f(x) = x →f '(x) =1;













Exercícios
Achar o valor da derivada das funções abaixo, usando as regras acima.

1) a) y = 7 → y' = 0,
b)f(x) = 8 →   'f'(x) = 0,
c) y = p →  y' = 0, pi vale 3,14...

2) y = x³ → y' = 3x²

3) y = x^-3 → y' = -3x^-4

4) f(x) = 3x^4 → f''(x) = 12x³

5) g(x) = 7x →g'(x) = 7(1) =7

6) f(x) = 3x^5 -2x +10 → f''(x) = 15x^4 -2 +0 → f'' (x) = 15x^4-2

7) g(x) = 3/x^5 → Lembre-se que : a^-p = 1/a^p → g(x) = 3.x^-5 →g'(x) = -15x^-5-1 ou g'(x) = -15x^-6 ou g'(x) =-15/x^6

8) h(x) = 3x^5 + 2/x³
pode-se escrever h(x) = 3x^5 + 2x^-3
h '(x) = 15x^4 - 6x^-4
h '(x) = 15x^4 - 6/x^4










































CORREÇÕES:
a) Atenção: corrigindo a última linha exercício 14, a resposta é: f '(x) = 16x³-8x
b) Ainda, no exercício 10, faltou o número 7 à frente dele.  

Veja também o conteúdo sobre LIMITES clicando AQUI
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2 comentários:

  1. Gostei. Me ajudou demais.
    Conteúdo muito bem abordado.
    Obrigado...

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Obrigado caro leitor. Aproveite também outros conteúdos de nosso blog.
      Um abraço!

      Excluir

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