Derivada
Em resumo: A tangente do ângulo ß = cateto oposto / cateto adjacente
Usando esse mesmo raciocínio, vamos verificar que, geometricamente, entre a função f(x) e a reta secante (a reta que corta a curva em dois pontos de f(x)), podemos encontrar um triângulo retângulo, cujo ângulo que a reta faz com o eixo Ox, que vamos chamar de ß, conforme você pode observar nos gráficos abaixo:
Observe que se ligarmos os dois pontos de intersecção da curva e da reta secante com outro ponto contido no segmento perpendicular do prolongamento do ponto x+h (ver figura abaixo), visualizamos um triângulo retângulo com ângulo agudo ß; e que se tomarmos um intervalo menor da reta em que a curva é cortada (ou menor valor de h), menor será o triângulo retângulo, porém o ângulo ß permanecerá sempre o mesmo e o valor de sua tangente vai se tornando cada vez mais próximo do valor no ponto x, à medida que o valor h vai se aproximando de zero.
Verifique na figura abaixo, que o ângulo ß tem sempre a mesma medida em todos os triângulos retângulos que possam ser visualizados nestas condições já retratadas.
Resumidamente, quando diminuímos o valor de h, os triângulos retângulos que são formados pela reta secante e a curva f(x), vão também ficando cada vez menores e o valor das tangentes do ângulo ß também vão ficando cada vez menores, e assim sucessivamente ou seja, quando h→0 (quando h se aproxima de zero, x+h também se aproxima de x). Podemos dizer então que limite de f(x+h) -f(x) / h ficará sendo a tangente do ângulo ß quando h→0, que chamamos derivada da função f(x) no ponto x.
Notação: Representamos a tangente do ângulo ß de simplesmente f' '(x) ou também como a derivada da função f no ponto x.
Resumidamente, podemos escrever:
f '(x) = lim f(x+h) - f(x) / h, quando h→0
Exemplos:
1. Encontrar a derivada da função f(x) = 2x, usando da definição.
f '(x) = lim f(x+h) - f(x) / h, quando h→0
lim f(x+h) -f(x)/h = 2(x+h) -2x /h , com h→0=
lim 2x+2h-2x / h, com h→0 =
lim 2h/h, com h→0 = 2
2. Ache a derivada de f(x) = x², usando da definição.
f '(x) = lim f(x+h) - f(x) / h, quando h→0
f '(x) =lim f(x+h)-f(x) /h, com h→0
= lim (x+h)² -x² /h
= lim x²+2xh+h²-x² /h
= lim 2xh+h² /h
=lim h(2x+h)/h
=lim 2x+h (como h→0)
=2x
REGRA PRÁTICAS USADAS NO CÁLCULO DAS DERIVADAS
Exemplos: y= c →y' =0, sendo c uma constante real qualquer.
f(x) = 20 →f '(x) = 0
2) Se y= x → y'= 1 ou f(x) = x →f '(x) =1;
Exercícios
Achar o valor da derivada das funções abaixo, usando as regras acima.
1) a) y = 7 → y' = 0,
b)f(x) = 8 → 'f'(x) = 0,
c) y = p → y' = 0, pi vale 3,14...
2) y = x³ → y' = 3x²
3) y = x^-3 → y' = -3x^-4
4) f(x) = 3x^4 → f''(x) = 12x³
5) g(x) = 7x →g'(x) = 7(1) =7
6) f(x) = 3x^5 -2x +10 → f''(x) = 15x^4 -2 +0 → f'' (x) = 15x^4-2
7) g(x) = 3/x^5 → Lembre-se que : a^-p = 1/a^p → g(x) = 3.x^-5 →g'(x) = -15x^-5-1 ou g'(x) = -15x^-6 ou g'(x) =-15/x^6
8) h(x) = 3x^5 + 2/x³
pode-se escrever h(x) = 3x^5 + 2x^-3
h '(x) = 15x^4 - 6x^-4
h '(x) = 15x^4 - 6/x^4
CORREÇÕES:
a) Atenção: corrigindo a última linha exercício 14, a resposta é: f '(x) = 16x³-8x
b) Ainda, no exercício 10, faltou o número 7 à frente dele.
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Gostei. Me ajudou demais.
ResponderExcluirConteúdo muito bem abordado.
Obrigado...
Obrigado caro leitor. Aproveite também outros conteúdos de nosso blog.
ExcluirUm abraço!